高中数学 1.1《旋转变换》教案 湘教版选修4-2.doc

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1、§1.1旋转变换教学目标:一、知识与技能：通过实例认识变换、旋转、像、列向量、线性变换、矩阵、恒等变换、中心对称变换等概念；以映射和变换的观点，认识矩阵一列向量乘法的意义，并能初步运用矩阵一列向量的乘法法则；掌握放置变换的表达式，能进行点坐标的变换运算，能将简单变换用其所对应的矩阵表示。二、方法与过程经历数学实验操作和问题探究，发现平面直角坐标系上的放置变换表达式，由特殊到一般引入线性变换的表达式。三、情感、态度与价值观通过数学实验中图形的变换，感受数学的奇异美，体会数学充满探索性；在学习活动中学会合作、学会发现知识，获得数学的解决问题的方法，使学生

2、体验到成功的乐趣；感觉数学符号美，领会数学公式的美学意义。教学重点:旋转变换表达式的推导和应用教学难点：数学实验的分析；矩阵与列向量乘法的意义教学过程一、实验操作：观察图1-1中的图形，其中右边的图形是由左边的图形绕原点沿逆时针方向旋转得到的。试自己摹仿画出图书馆-1中的图形。先画出左边的图形。这个图形包括：与轴平行的直线和与轴平行的直线，以原点为中心的圆，曲线图形。图1－1先将左边的平行直线画好，组成网格，再将圆画好再根据曲线每一部分在网格中的位置画出曲线图形。这也是实际画图的人员经常采用的方法：先画格子，再以格子为背景画出图形。右边的图形怎么画？

3、需要将左边的图形作旋转。二、问题探究图1－1是计算机画出来的，很多计算机软件都可以根据图形的方程画出图形。-5-用心爱心专心如果想利用计算机软件画出图1－1中的曲线图形，需要知道以下信息：曲线由两部分组成，两部的参数方程分别是：；对于区间内每一个值，代入参数方程就得到一点。让取遍曲线内所有的值，得到的所有的点就组成一个曲线图形，可以让计算机软件根据为个方程画出它的图形。怎样将为个曲线图形旋转？参数的每一个值确定旋转前的曲线上的一个点，需要由这个点的坐标算出它旋转后的坐标，计算机可以根据所有这些点旋转后的坐标画出旋转后的图形。　三、新课讲解：设平面上建

4、立了直角坐标如图1－2，所有的点绕原点沿逆时针方向同一个角，求点（）经过旋转之后到达的点（）这是研究平面上的二维向量空间，所以应设平面上建立了直角坐标系这个前提条件，根据前后图形性质的不变性，运用化归思想把问题转化为寻找旋转前后图形对应点的关系，即找出旋转前后对应点的坐标关系：将点人位置用向量和方向角来表示为抓住旋转前后对应点的长度不变，方向角增加，利用三角函数的和角公式，用整体代入法寻找对　　　　图1－2应点的坐标关系为因此　　　　　　⑴平面上绕原点旋转可以看成一个变换，称为旋转变换，它建立了平面上的第一个点到的对应关系。用字母T来表示这个旋转变换

5、，为了表示点对应，写成＝T（），称是-5-用心爱心专心在变换T作用下的像，并且用箭头来表示与的这种关系；变换T：或变换T：T（）在平面上建立了直角坐标系之后，每个点由坐标（）表示，当然点＝T（）也用坐标（）表示，因此，变换T也建立了这两个点的坐标之间的对应变换T：（）（）在⑴式中左边的组成点的坐标（），可以看在　向量的坐标排成一列的形式，称为列向量，可以利用向量记号将关系式⑴的两个等式全成一个向量等式　　　　　⑵　表示左右两边向量的分量对应相等。为了叙述方便，我们有时还用一个字母表示一个列向量。比如记，，用＋表示它们的和，表示实数与的积。表达式⑵的右

6、边的两个分量，当固定不变时，，都是自变量的常数项为0的一次函数，它们的自变量是的坐标，可以看作的坐标，用列向量表示。将这两个一次函数的自变量分离出去之后，让4个系数排成2行2列的数表的形式，表达式⑵就成为＝　　　⑶将⑶式右边中的每一行的系数与中的字母分别对应相乘再相加，就还原成表达式⑵一般地，如果变换T：（）（）变换前后坐标之间的关系具有如下的形式：也就是都是的常数项为0的一-5-用心爱心专心次函数，就将这样的变换T称作线性变换。此时可以将变换表达式写成＝　　　　　　⑷　的形式，不同的线性变换的差别仅仅在于一次函数表达式中的4个系数，，，的不同。因此

7、，这4个数排成的2行2列的数表决定　了平面上的线性变换。我们将这样由4个数排成的2行2列的数表称为2　行2列的矩阵，也称为2×2矩阵，表达式⑷所描述的变换完全由矩阵决定，我们称它为这个变换的矩阵。而称这个变换是由这个矩阵表示的变换。四、例题解析例1、设变换T将平面上每个点绕原点旋转，求以下点的像：A（0,0），　B（2,1），　C（0，1），　D（1，－2）解法一：首先要明白变换T作用下像的概念，变换T建立了两点间的坐标对应关系T：（）（）再根据旋转变换公式得到旋转变换前后对应点的坐标关系，将点A，B，C，D的坐标分别代入可算出它们的像的坐标分别为A

8、（0,0）A（0,0），　　　B（2,1）B（－1,2）C（0，1）C（－1，0），　　　D（1，－2）D（