一维无线深方势阱.ppt

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1、§2.7一维定态问题在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。§1一维无限深势阱§2线性谐振子§3一维势散射问题（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；§1一维无限深势阱（一）一维运动（二）一维无限深势阱（三）宇称（四）讨论（一）一维运动所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z)=V

2、1(x)+V2(y)+V3(z)形式，则S-方程可在直角坐标系中分离变量。令ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=Ex+Ey+Ez于是S-方程化为三个常微分方程：当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其Schrodinger方程为：其中（二）一维无限深势阱求解S—方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数-a0aV(x)IIIIII（1）列出各势域的S—方程方程可简化为：-a0aV(x)IIIIII势V(x)分为三个区域，用I、II和III表示，其上的波函数分别为ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)。则方程为：

3、22（3）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是ψ(-a)=ψ(a)=0。-a0aV(x)IIIIII1。单值，成立；2。有限：当x-∞，ψ有限条件要求C2=0。使用标准条件3。连续：2）波函数导数连续：在边界x=-a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若ψI(-a)’=ψII(-a)’，则有，0=Aαcos(-αa+δ)与上面波函数连续条件导出的结果Asin(-αa+δ)=0矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。1）波函数连续：-a0aV(x)IIIIII(1)+(

4、2)(2)-(1)两种情况：由（4）式讨论状态不存在描写同一状态所以n只取正整数，即于是：或于是波函数：由（3）式类似I中关于n=m的讨论可知：综合I、II结果，最后得：对应m=2n对应m=2n+1能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ=0。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4）由归一化条件定系数A[小结]由无穷深方势阱问题的求解可以看出，解S—方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续

5、）定未知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。（三）宇称（1）空间反射：空间矢量反向的操作。（2）此时如果有：称波函数具有正宇称（或偶宇称）；称波函数具有负宇称（或奇宇称）；（3）如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。（四）讨论一维无限深势阱中粒子的状态（2）n=0,E=0,ψ=0，态不存在，无意义。而n=±k,k=1,2,...可见，n取负整数与正整数描写同一状态。（1）n=1,基态，与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。（4）ψn*(x)=ψn(x)即波函数是实函数。（5）定态波函数（3）波函数宇称作业

6、周世勋：《量子力学教程》第二章2.3、2.4、2.8