必修一 第一章 集合与函数概念 函数性质的应用

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1、1．复合函数单调性判定：f(x)φ(x)f[φ(x)]↑↑↑↑↓↓↓↓↑↓↑↓[答案][0,1][解析]由－x2＋2x≥0得0≤x≤2，当x∈[0,1]时，u＝－x2＋2x单调增，2．和、差函数的单调性：两个增函数(或减函数)的和仍为增函数(或减函数)一个增函数(或减函数)减去一个减函数(或增函数)，结果是一个增(或减)函数．[答案]23．具有奇偶性的两个函数在同一定义域(或定义域的交集上)上有：奇＋奇＝奇　　　　　奇×奇＝偶奇×偶＝奇　　　　　偶×偶＝偶[答案]－1本节重点：1.应用单调性比较大小、解不等式及求最值．2．奇偶函数图象的对称性及奇偶函数的单调性．本节难点：单

2、调性、奇偶性的综合应用．[分析]通过分析函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等可以了解函数图象的分布情况和对称性，进而可列表描点、画图．[解析]此函数的定义域为{x∈R

3、x≠0}，故其图象在x＝0处断开，即被y轴分为两部分；对任意x≠0，有y>0，故其图象分布在x轴上方；此函数为偶函数，故其图象关于x轴对称，因此只须画出x>0的图象，利用对称性可画出x<0的部分图象；x>0时，f(x)为减函数，x越接近于0，y值越大，其图象越接近于y轴，x越大，y值越小，其图象越靠近x轴．列出x，y的对应值如表：在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如图．[解析]定义域[

4、0，＋∞)、值域[0，＋∞)．因此图象只分布在第一象限内，易知其为增函数，且随着x的增大，增长速度越来越快．列表从略，图象如图．[例2]已知f(x)＝x5＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－26B．－18C．－10D．10[解析]令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋bx，则g(x)是奇函数，∴g(－2)＋g(2)＝0，∴f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0，∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－26，∴选A.[分析]利用函数的性质再得到一个关于f(x)与g(x)的等式，然后把f(x)，g(x)看作未知量，利用方程的观点求解f(x)，g(x)．[例3]若函数f(x)是

5、定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－2,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)

6、等式f(x＋6)＋f(x)>2成立的x的取值范围．[解析]由条件知，f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，故不等式f(x＋6)＋f(x)>2，即f(x＋6)＋f(x)>f(16)[例4]对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．[例5]已知一个二次函数y＝f(x)满足f(0)＝3，又知当x＝－3或x＝－5时，这个函数的值都为0，求这个二次函数．[解析]解法1：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，解法2：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，∴

7、c＝3.令f(x)＝0，由韦达定理得[点评]①已知二次函数的顶点或对称轴可设配方式f(x)＝a(x－h)2＋k.②已知二次函数图象与x轴两交点(x1,0)，(x2,0)可设分解式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)．③已知二次函数过三点可设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)已知函数y＝f(x)为二次函数，且满足f(0)＝－3，f(1)＝0，f(－3)＝0，则这个二次函数的解析式为______．(2)已知一个二次函数f(x)的图象的顶点是(6，－12)，与x轴的一个交点为(8,0)，则其解析式是______．[答案](1)f(x)＝x2＋2x－3(2)f(x)＝3x2

8、－36x＋96[解析](1)设f(x)＝a(x－1)(x＋3)，∵f(0)＝－3，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x－3.(2)设f(x)＝a(x－6)2－12，∵过(8,0)点，∴a＝3，∴f(x)＝3x2－36x＋96.[例6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集是______．[答案](－2,0)∪(2,5][解析]f(x)为奇函数，故由所给图象可知－2＜x＜0时，f(x)＜0又由图知2＜x≤5时，f(x)＜0，故f(x)＜0的解集为(－