三垂线定理及其逆定理.doc

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1、三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。二.过程与方法目标1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。三．情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想

2、。【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二．教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。【教学过程】一复习引入：1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。）2.有意设疑

3、，引入新课。平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）设计意图（为了唤起学生学习的

4、兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。PPO⊥α，PA与α斜交于点A，AO⊥a，问PA与a所成的角；显然PO⊥αPOOAa平面POAPAOAPOOA=OPA平面POA即：PA与a所成的角为900三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO，才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理

5、。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书）设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。）剖析命题（1）.三垂线定理及其逆定理的

6、内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。　（2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结：　一找垂面：即先确定平面及平面的垂线：二找斜线：接着确定平面的斜线：　三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；　四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书）设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。）三讲解例题例1.已知：点是的垂心，，垂足为

7、，求证：．证明：∵点是的垂心，∴又∵，垂足为，所以，由三垂线定理知，．例2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：∠BAC在α内，PÏa，PE^AB于E，PF^AC于F且PE=PF，PO^a求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO）证明：连接OE，OF∵PO^a∴EO，FO分别为PE，PF在a上的射影∵PE=PF∴OE=OF∵PE^AB，PF^AC∴OE^AB，OF^AC(三垂线定理的逆定理)∴O到∠BAC两边距离相等∴O在∠BAC的平分线

8、上变式：已知：在平面内，点，垂足分别为，求证：．证明：∵，∴（三垂线定理逆定理）∵，∴，∴，又∵，∴∴．推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线例3.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心求证:(1)PH^底面ABC(2)△ABC是锐角三角形.证明:(1)略(2)设AH与直线BC的交点为E，连接PE由(1)知PH^底面ABC