三垂线定理及其逆定理.ppt

《三垂线定理及其逆定理.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三垂线定理及其逆定理aPAO一.正射影1、点在平面内的射影如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形,则叫做图形F在这个平面上的射影.2、图形在平面内的射影如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线。斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。ADCBA1D1B1C1指出A1C在正方体下列各个表面内的射影表面AD1内——————表面BC1内——————表面DC1内——————表面A1B内——————A1DB1CD1CA1B平面内是否存在直线与斜线的射影垂直？提问：aPAO当平面内存在直线与斜线的射影垂直时，直线与斜线垂直吗？aP

2、AO在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理cde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，①相交直线②异面直线注意：bAoaαP这两条直线可以是：直接利用三垂线定理证明下列各题：例1.(1)PA⊥菱形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD(2)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1ADCBA1D1B1C1(3)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMBPMCA三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在

3、平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOa直线a一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。例如：当a⊥时，a⊥OA，但a不垂直于OP注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？PAOaαa解题回顾√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：

4、判断下列命题的真假：××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直PAOaαPAOaα线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα三垂线定理的逆定理例3如果一个角所在平面外一点到角的两边　　距离相等

5、，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。CBAPOFE已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO例4在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BCOADCB在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成的角的大小为（）A30°B45°C60°D90°DFADCBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1内的射影EB1⊥EFDG∥AM∥EB1EF⊥DG练习三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直

6、，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线斜垂直定理逆定理