大学物理 朱峰(第一版)习题精解第一章 质点运动学.doc

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1、习题精解解题方法与例题分析一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。例1一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为一、已知运动方程求△r及通过求导求v、a，并判断物体作何种运动。（其中a、b为常量），则该质点作何种形式的运动？解由质点的位置矢量得运动方程轨道方程，质点的速度质点的加速度质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平

2、面内作匀变速直线运动，其轨道方程为。例2某质点的运动方程为x=2t–7t3+3（SI），则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。解由质点的运动方程x=2t–7t3+3得质点的速度质点的加速度质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。例3一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x=5t2–3t3(SI)。试求：（1）在第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度。解（1）由平均速度的定义：（2）由定义时，有（3）由定义时，有例4在离船高度为h

3、的岸边，绞车以恒定的速率v0收绳（绳原长l0），使船靠岸，如图1—1所示，试描述船的运动。图1—1解建立如图坐标系，显然船在x轴上作直线运动。t时刻绳长为船的运动方程为速度为方向沿x轴负向。加速度为方向沿x轴负向。可见，船作加速直线运动，离岸越近，x越小，a越大。例5已知质点的运动方程x=2t，y=4–t2（SI）。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。解由运动方程可求得质点速度的x、y分量,速度大小为同理：，m/s2所以加速度大小为m/s2切向加速度：法向加速度：二、已知加速度及初始条件，

4、计算速度和运动方程。此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。例6一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为a=3+6x2（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解设质点在任意位置x处的速度为v，则分离变量，两边积分：得例7一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即，其中常量k>0。若关闭发动机时汽船的速度为v0，求：（1）关闭发动机后t时刻的汽船速度；（2

5、）关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。解以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。（1）按直线运动的加速度公式有由题意，代入上式，有分离变量已知t=0时，，并设t时刻的速度为v，对上式取定积分∴（2）由有分离变量，两边取定积分，有由此得汽船的运动方程为汽船在t时间内行驶的距离例8一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为。求：（1）经过多少时间它的总加速度恰好与半径成45º角？（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少

6、？解已知，即由初始条件:t=0时，，得质点的瞬时速率质点的法向加速度的大小为这样总加速度为：其中为沿半径指向圆心的单位矢量，为切向单位矢量。（1）设总加速度与半径夹角为，则有：，当=45º时，有，即要求3t2=3，t=1s（另一负根舍去）所以t=1s时，总加速度与半径成45º角。（2）由和初始条件：t=0时，s0=0，得：将t=1s代入，求出这段时间内的路程：由角位移与路程的关系当t=1s时,三、利用角量与线量的关系解题。例9质点P在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度w与时间t的函数关系为w=kt2

7、（k为常量）。已知t=2s时质点P的速率为16m/s，试求t=1s时，质点P的速度与加速度的大小。解首先确定k值：所以有，时，1-1某质点的速度为，已知t=0时它经过点（3，7），则该质点的运动方程为（）A.B.C.D.不能确定解：本题答案为B.因为所以于是有即亦即故1-2一质点在平面上作曲线运动,时刻位置矢量为，时刻的位置矢量为，求：（1）在时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出及。解（1）在时间内质点的位移矢量式为（2）该段时间内位移的大小该段时间内位移的方向与轴的夹角为（

8、3）坐标图上的表示如图1.1所示1-3某质点作直线运动，其运动方程为，其中以计，以计，求：（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经过的路程。解（1）第3s末质点的位置为（2）头3s的位移大小为（3）因为质点做反向运动是有，所以令，即因此头3s内经过的路程为1-4已知某质点的运动方程为，式中以计，和以计。（1）计算并图示