2012-2013年理工线性代数考试A卷答案.doc

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1、《线性代数》考试A卷答案及评分标准教师填写课程2012–2013学年第一学期线性代数(理科)试题授课教师考试时间2013年1月日姓名课程类别必修[√]选修[]考试方式开卷[]闭卷[√]试卷类别(A、B、…)[A]共8页得分评阅人一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1．已知均为三阶矩阵，且，及，则2．设均为三阶矩阵，且，为矩阵的伴随矩阵，则行列式.3．设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则矩阵.4.设矩阵满足，则.5．齐次线性方程组只有0解，则k应满足的条件是.6．设向量组线性相关，则.7．设3

2、阶矩阵的特征值互不相同，若行列式,则矩阵的秩为2.8．设3阶矩阵的特征值1，2，2，则行列式.9．二次型的规范形是.10．当满足时，二次型为正定二次型。得分评阅人二、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）注意：将选择的答案填入下表中，填入表外不给分。题号12345678910答案BCAABDCBDC1.若是五阶行列式的一项(除去符号)，则有(B)（A），此项为正（B），此项为负（C），此项为正（D）以上全不对2．若三阶行列式的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，则行列式=（

3、C）（A）-8（B）-20（C）8（D）203．已知向量组线性相关，线性无关，则：（A）（A）必能由线性表示。（B）必能由线性表示。（C）必能由线性表示。（D）必能由线性表示。4.设为矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（A）.（A）的列向量线性无关（B）的列向量线性相关（C）的行向量线性无关（D）的行向量线性相关5．若阶矩阵满足，则下列叙述错误的是（B）（A）的每个列向量都是的解；（B）中任意个列向量都线性无关；（C）中任意多于个列向量都线性相关；（D）0是矩阵的特征值。6.已知为的解，则下列

4、哪一个是的解？（　D　）．（A）（B）（C）（D）7．已知阶矩阵为可逆矩阵，为矩阵，则有(C)（A）（C）（C）（D）8．设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则向量组线性无关的充分必要条件是（B）（A）.（B）.（C）.（D）.9．如果阶方阵与阶方阵相似，则下列结论不正确的是（D）（A）与有相同的特征值（B）与有相同的特征方程（C）与有相同的行列式（D）与有相同的特征矩阵10．下列矩阵中不能对角化的是(C)（A）（B）（C）（D）得分评阅人三、判断题（共10小题，每小题1分，共10分）注

5、意：将选择的答案填入下表中，正确的填“对”，错误的填“错”。题号12345678910答案对错对错错对对对错错1.行列式（对）2.若与是同阶方阵，则.（错）3．阶矩阵满足，则可逆.（对）4．如果向量组线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示.（错）5．对于矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是行向量组线性无关.（错）6．一个特征向量不能属于不同的特征值.（对）7．如果阶矩阵的行列式，则至少有一个特征值为零.（对）8．若矩阵可逆，则矩阵与相似.（对）9.二次型经非退化线性变换后，变为二次型，则矩阵

6、与相似.（错）10．设三阶实对称矩阵的特征值为-1,2,3，则矩阵是正定矩阵.（错）得分评阅人四、计算题（共4小题，共40分）1.（本题8分）已知，其中矩阵，求矩阵.解：由得又，知可逆，3分由，得，5分8分2.（本题8分）求如下向量组的最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示：解：对矩阵仅施以初等行变换：1分5分由最后一个矩阵可知：为一个极大无关组，且6分，8分注意：本题亦可能有其它结果。3．（本题12分）设方程组，问取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解时，求方程组通解？

7、解：对增广矩阵进行初等行变换：3分故有:（1）当时，，方程组有唯一解。5分（2）当时，，方程组无解。7分（3）当时，，方程组有无穷多解.9分同解方程组，故方程组通解为：12分4．（本题12分）设矩阵，求正交矩阵,使为对角矩阵.解：特征方程为所以的特征值为4分当时,解齐次方程组得基础解系,单位化得7分当时,解齐次方程组得基础解系.向量已正交，只须将单位化为即可.10分令,则有12分注意：正交矩阵亦可能有其它结果。得分评阅人五、证明题（共2小题，每小题5分，共10分）1.设向量组线性无关，非零向量与均正交

8、，求证：向量组线性无关.证1：若有用左乘上式两边，得2分由与均正交，得4分再由向量非零，知，代入（1）中，由线性无关得因此仍线性无关。5分证2：假设向量组线性相关又线性无关，则向量可由向量组唯一地线性表示，即存在数，使得2分用左乘上式两边，得由于与均正交，得4分，这与为非零向量矛盾.因此仍线性无关。5分2．设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为，证明不是矩阵的特征向量.证：按题设，有，，故2分用反证法，假设是的特征向量，则应存在数，使于是，，