利用增根的性质解题.doc

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1、利用增根的性质解题河北张家口市第十九中学　　贺峰我们知道，在解分式方程时可以会产生增根，分式方程的增根是由于把分式方程化为整式方程时，方程两边所乘的最简公分母为零造成的，因此分式方程的增根具有以下两条性质：（1）能使分式方程的最简公分母为零；（2）是由分式方程化为整式方程的根。借助分式方程的增根的这两条性质，可以帮助我们解决一些与分式方程有关的问题，现举几例，供同学参考：例1、如果关于x的方程＝－有增根1，求a的值．分析：已知方程有增根1，若直接代入原方程，则分母为零，显然不行．题目限定了分式方程有增根1，因此可利用性质（2）将增根1代入原分式方程所

2、化成的整式方程即可解题。解：方程两边都乘以x(x＋1)(x－1)，约去分母，得x＋1＝(a－1)×x－(a－5)(x－1)∵方程有增根1，∴它必满足化简后得到的整式方程，∴把x＝1代入这个整式方程得：1＋1＝(a－1)×1－(a－5)(1－1)解得a＝3。例2、当m为何值时，解关于x的方程－＝时会产生增根?分析：若分式方程会产生增根，根据性质（1），增根只能是0或－1，再利用性质（2），将增根0和－1分别代入整式方程即可解题。解：方程两边都乘以x(x＋1)，约去分母，得2x2－(m＋1)＝(x＋1)2要使方程产生增根，则增根只能是x1＝0，x2＝－1

3、．∴当x1＝0时，0－(m＋1)＝(0＋1)2，解得m＝－2，当x2＝－1时，2－(m＋1)＝(－1＋1)2，解得m＝1，∴当m＝－2或m＝1时，解所给方程会产生增根．例3、若分式方程＋＝有解，求k的取值范围．分析：若分式方程有解，即x的值不能使得分式的分母为零，因此根据性质（1），本题中的x的值不能为0和1，再利用性质（2），将0和1分别代入整式方程解得k，进而得到k的取值范围．解：方程两边都乘以x(x－1)，约去分母，得x－1＋2x＝k，整理，得3x＝k＋1．∵原分式方程有解，x≠0或x≠1当x≠0时，k＋1≠0，解得k≠－1，当x≠1时，k＋1

4、≠3，解得k≠－2，∴k的取值范围是k≠－1且k≠－2的一切实数．例4、若关于x的方程＝无解，求m的值．分析：若原分式方程无解，则分式方程的分母为零，也就是说分式方程的解为增根2，利用性质（2），将增根2代入原分式方程化成的整式方程后即可求解．解：方程两边都乘以x－2，约去分母，得x－1＝m．∵方程无解，∴分母x－2＝0，解得x＝2．∴把x＝2代入整式方程x－1＝m，得：m＝1．题后注：以上几个题目都是与分式方程的增根有关，虽然说法有所不同，但其基本思路是类似的，都是先把分式方程化成整式方程，再把增根代入求解．