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1、此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除5-4完全平方数教学目标完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.知识点拨一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或
2、8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数
3、；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：例题精讲模块一、完全平方数基本性质和概念【例1】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛)是的平方．【解析】，，原式．【巩固】(华杯赛试题)下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？此文档仅供学习与交流此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数
4、一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例1】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完
5、全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】设该数为，那么它的平方就是，因此．由于，⑴所以，，，可得，；故该数的约数个数为个；⑵或者，，可得，那么该数的约数个数为个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．
6、【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于，所以、、……、都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【解析】先将1016分解质因数：，由于是一个完全平方数，所以至少为，故a最小为．【巩固】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【解析】，要使是某个自然数的平方，必须使各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以为2可以使是完全平方
7、数，故至少为2．【例3】已知自然数n满足：除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【解析】先将分解质因数：，由于除以得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是的约数，那么最大可以为，所以最小为．本题也可以这样想，既然除以得到一个完全平方数，的质因数分解式中3，7，11的幂次是奇数，所以的最小值是．【巩固】考虑下列32个数：，，，……，，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．【解析】设这32个数的乘积为A．此文档仅供学习与交流此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除，所以，只要划
