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1、三、解答题．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.【答案】[解](1)设椭圆的方程为.根据题意知,解得,故椭圆的方程为.(2)容易求得椭圆的方程为.当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由得.设,则因为,所以,即,解得,即.故直线的方程为或.．（2
2、013年高考四川卷（理））已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.【答案】解:所以,.又由已知,,所以椭圆C的离心率由知椭圆C的方程为.设点Q的坐标为(x,y).(1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为(2)当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.因为在直线上,可设点的坐标分别为,则.又由,得,即①将代入中,得②由得.由②可知代入①中并化简,得③因为点在直线上,所以,代入③中并化简,得.由③及,
3、可知,即.又满足,故.由题意,在椭圆内部,所以,又由有且,则.所以点的轨迹方程是,其中,,．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围;【答案】解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得由题意知,即又所以,所以椭圆方程为(Ⅱ)由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为,所以,而,所以．（201
4、3年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);【答案】:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直
5、的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点(1)求椭圆的方程;xOyBl1l2PDA（第21题图）【答案】解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是;．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设椭圆的
6、焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上【答案】解:(Ⅰ).(Ⅱ).由.所以动点P过定直线.已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求
7、AB
8、.【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为(,),半径为R.(Ⅰ)∵圆与圆外
9、切且与圆内切,∴
10、PM
11、+
12、PN
13、===4,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于
14、PM
15、-
16、PN
17、=≤2,∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P的半径最长时,其方程为,当的倾斜角为时,则与轴重合,可得
18、AB
19、=.当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.当=时,将代入并整理得,解得=,∴
20、AB
21、==.当=-时
22、,由图形的对称性可知
23、AB
24、=,综上,
25、AB
26、=或
27、AB
28、=.．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由【答案】解:(1)由在椭圆上得,①依题设知,则②②代入①解得.故椭圆的方程为.(2)方法一:由题意可设的斜率为,则直线的方程为③代入椭圆方程并整理,得,设,则有④在方程③中令
