《提优教程》2012江苏省高中数学 第66讲 覆盖竞赛教案.doc

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1、第66讲覆盖本节主要内容是图形覆盖与嵌入．一、图形覆盖的定义：平面闭图形指的是由平面上一条简单闭曲线及其围成的平面部分组成的图形．所谓简单闭曲线，就是自身不相交的封闭曲线．它作为图形的边界，而它围成的平面部分(不包括闭曲线本身)称为平面图形的内部．定义1设M和N是两个平面图形，若M⊃N或M经过运动变成M'，而M'⊃N，则称图形M可以覆盖图形N，或N能被M覆盖，也说N嵌入M．设M1，M2，…，Mn是一组平面图形，若M1⋃M2⋃…⋃Mn⊃N，或M1，M2，…，Mn各自经过运动(施于每一个图形的运动不一定相同)分别变为M1'，M2'，…，Mn'，而M1

2、'⋃M2'⋃…⋃Mn'⊃N，则称图形M1，M2，…，Mn可以覆盖图形N，或N能被M1，M2，…，Mn覆盖．二、图形覆盖的性质：覆盖的下述性质是十分明显的：⑴图形G覆盖自身；⑵图形G覆盖图形E，图形E覆盖图形F，则图形G覆盖图形F．⑶如果一条线段的两个端点都在一个凸图形内部，则此线段被此凸图形覆盖．推论：一个凸图形如果盖住了一个凸多边形的所有顶点，则此凸多边形被此凸图形覆盖．定义2设F是一个平面闭图形，我们称F的任意两点之间的距离的最大值为M的直径，记为d(F)，即d(F)＝max{

3、AB

4、，A，B∈F}．三、关于覆盖的三条原则：覆盖的以下三个原则

5、是常用的：原则1 若图形F的面积大于图形G的面积，则图形G不能覆盖图形F；原则2 直径为d的图形Ｆ不能被直径小于d的图形G所覆盖．原则3(重叠原理)n个平面图形的面积分别为S1，S2，…，Sn，若它们被一个面积为A的平面图形完全覆盖，又A

6、AB同侧，且对A、B视角不小于α，则图形F被以AB为弦，对AB视角等于α的弓形G所覆盖；在用圆盘去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛．称覆盖图形F的圆盘中最小的一个为F的最小覆盖圆盘．最小覆盖圆盘的半径叫做图形F的覆盖半径．A类例题例1△ABC的最大边BC等于a，试求出覆盖△ABC的最小圆盘．解：⑴若此三角形为钝角三角形或直角三角形，则以其最大边a为直径作圆，该圆盘可以覆盖此三角形，而任一直径小于a的圆盘，则不能盖住此三角形，故覆盖直角三角形或钝角三角形的最小圆盘是以其最大边为直径的圆盘．即覆盖△ABC的最小圆盘的半径＝a．⑵若三

7、角形ABC是锐角三角形，任取一个覆盖DABC的半径为r的圆盘O-12-，若A、B、C都不在圆上，连OA、OB、OC，设OA≥OB≥OC，则以O为圆心，OA为半径作圆，该圆盘也能覆盖DABC，且OA＜r．即当三角形的顶点在圆内时，覆盖此三角形的圆一定不是最小圆盘．现设A在⊙O上，B、C在圆上或圆内，且⊙O的直径为ｄ，△ABC外接圆直径为d0，延长CB、BC与圆交于B¢、C¢，则∠B¢≤∠B，且∠ACC¢为钝角，于是AC¢＞AC．故d＝≥＝d0．所以锐角三角形ABC的最小覆盖圆盘是它的外接圆．由正弦定理，其外接圆的半径r＝≤＝a．这样就得到了覆盖三角

8、形的圆盘的定理：△ABC中，若a为最大边，则△ABC的覆盖半径r满足a≤r≤a．例2已知A、B、C、D为平面上两两距离不超过1的任意四个点，今欲作一圆覆盖此四点(即A、B、C、D在圆内或圆周上)，问半径最小该为多少？试证明之，(1985年上海市数学竞赛试题)分析我们先通过特殊情况：此四点共线，△ABC是正三角形，D在内部或边界．探索到半径的最小值．然后按A、B、C、D形成的凸包分类讨论．解设所求半径的最小值为r，⑴若四点共线，则用一个半径为的圆盘即可覆盖此四点；⑵若此四点的凸包为三角形，由于最大边长≤1．由覆盖三角形的圆盘定理知，覆盖此四点的圆盘

9、半径r≤；⑶若此四点的凸包为四边形ABCD．若此四边形有一组对角都≥90°，例如∠A、∠C都≥90°，则以BD为直径的圆盘可以覆盖此四点，此时r≤；若此四边形两组对角都不全≥90°，则必有相邻二角＜90°，设∠A、∠B都小于90°．不妨设∠ADB≥∠ACB．若∠ACB≥90°，则以AB为直径的圆盘覆盖此四点，此时r≤；若∠ACB＜90°，则由DACB的外接圆围成的圆盘覆盖此四点，此时r≤．总之，r≤．说明优先考虑特殊情况得到结果，再分类讨论是数学中经常使用的方法．情景再现1，已知一个凸五边形的所有内角都是钝角，证明能找到这个五边形的两条对角线，以

10、这两条对角线为直径的两个圆形纸片，可以将这个五边形覆盖，(1987年东北三省数学邀请赛试题)2，(1)一个正方形被分割成若干个直角边分别