[精品]小波分析笔记.doc

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1、过去10年来，小波变换在图像压缩领域取得了巨大的成功。它在处理具有点状奇异性的一维信号时远胜于傅立叶分析，在应用屮，大多数的二维小波变换使用的可分离滤波器组是一维小波变换在行和列方向的张量积。由于小波基函数仅能表示水平、垂直、对角三个方向，因此在表示高维奇异信号如图像的几何边界等就显得无能为力。因此小波变换在捕捉0维奇异性或处理分片光滑区域时是最优T具，但是在处理高维信号时就不是最优的。小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维，由一维小波张成的可分离小波（Separablewavelet））*具有有限的方

2、向，不能“最优”地表示含线或者血奇异的高维函数，但事实上具有线或血奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，白然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。实现函数的稀疏表示是信号处理、计算机视觉等很多领域屮一个非常核心的问题。对于模型（7）（焦李成谭山图像的多尺度几何分析：冋顾和展望），正交基所能达到的最优逼近误差应该具有M"的衰减级[DLDonoho:Sparsecomponentanalysisandoptimalatomicdecompositionlj].ConstructiveA

3、pproximation,1998,17:353-382],然而小波变换的非线性逼近误并只能达到的衰减级。其屮重要的原因是二维可分离小波基只具有有限的方向，即水平、垂肓、对角，方向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像木身的几何正则性。据生理学家对人类视觉系统的研究结果和白然图像统计模型，一种“最优”的图像表示法应具有如下特征：（1）多分辨：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即“带通”性；（2）局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的；⑶方向性：其“基”应该具有“方向”性，不仅仅局限于二维可分离小波的3

4、个方向。AFourierfiltenngprocesstheimageinformationoverfixedsizeneighborhoods.Awaveletfiltenngadaptsimageprocessingtothescaleoflocalimagedetails.Abandietfiltenngisadaptedtothescaleandgeometryoftheimageinformation,上图表示了分别用傅立叶分析、二维可分离小波变换以及Bandelet变换来逼近图像屮奇异曲线的过程。由一维小波张成的二

5、维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下,其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程，最终表现为用“点”来逼近线的过程。在尺度八小波支撑区间的边长近似为2J幅值超过2丿的小波系数的个数至少为0(2丿)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的小波系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。Bandelets变换能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称这种基具有“乞向异性

6、”。2000年，ELePennec和StephaneMallat在文献［4］中提岀Bandelet变换。Bandelet变换是一种基于边缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向。Pennec和Mallat认为：在图像处理任务屮，若是能够预先知道图像的几何正则性，Bandelets的优点：基函数具有各向异性(anisotropy)和多方向性(multi-directional,M-DIR)等良好特性，能有效处理高维函数。Bandelets和第二代Bandelets是新的基于边缘的几何多尺度分析工具，能捕获图像屮的几何正

7、则性，并自适应地给出最优表示。第一代Bandelets市于要对原始图像重采样，并要把任意几何方向弯曲至水平或垂直方向，从而借助二维可分离标准小波变换來处理，实现复杂度较高，对于含个像素的图像，计算复杂度为O(〃(lo£)2):第二代Bandebts巧妙地借助多尺度分析和儿何方向分析，既保留了第一代Bandelets的优点，计算复杂度为O(W)；近乎线性。二维可分离小波变换可把图像屮的能量集屮在少最的小波系数上,但对图像屮奇异点附近产生的大系数却无能为力。现代图像处理技术希望挖掘并充分利用图像内在的几何正则性，bandelets

8、和第二代bandelets是在离散小波域对含有几何正则性的数字图像给出最优表示的多尺度儿何分析新工具，它旨在利用图像H身的儿何正则性并去除标准小波变换所不可避免的各向异性几何冗余，并对所要表示的函数白适应地给出最优表示。自然图像由于光学散射等效应在边缘造成不连续性，这种沿着边