华师大版数学九年级上册练习 24.4_中位线_3.doc

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1、九年级上第24章第4节中位线知识拓展例1.如图,四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为AD、BC的中点,EF⊥MN交AB于E,交CD于F,求证:∠AEF=∠DFE.分析欲证∠AEF=∠DFE,由MN⊥EF想到延长BA、CD与NM的延长线交于P、Q,只需证明∠EPN=∠Q.如何利用中点的条件?想到三角形的中位线.连线BD,取BD的中点G,则有由于AB=CD,进而有GM=GN,∠GMN=∠GNM.然后再转化∠EPN=∠Q.从而证出结论.证明延长BA、CD分别与NM的延长线交于P、Q,连结BD,取BD的中点G,连结GM、GN.∵G、M分别为△ABD的边BD、AD

2、的中点,∴同理可得:又∵∵∥∥,∴∴∴(等角的余角相等)说明添辅助线是证明几何题的难点,尤其像本题要添多条辅助线,更为困难.掌握一般添辅助线的规律是必要的,更为重要的是在分析中自然添辅助线,添辅助线是分析问题过程的一个步骤,这是几何证明的较高层次,要在实践中仔细体会,不断摸索,不断总结.例2.如图,C为已知线段AB外一点,以AC,BC为边,分别向的外侧作正方形ACFD和正方形BCGE,不论C点的位置在AB的同侧怎样变化,求证:(1)D,E到AB所在直线的距离之和为定值;(2)线段DE的中点M为定点.证明:(1)作于,于,于.∵,且∴∴∴∴∴∴∴.同理:∴(为定

3、值)(2)过M作于N.∵,∴∵,∴∵,∴∴∴∴∴.即N为AB的中点(为定点)又∵(为定值),∴M为定点.分析本题综合考查了平行线等分线段定理,梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等,易错点是对定值、定点不理解,解题关键是作如图所示的四条辅助线.

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