培养学生思维灵活性的珍宝.doc

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1、培养学生思维灵活性的珍宝数学思维是进行数学活动的前提，数学教学的重点Z—就是培养学生的逻辑思维能力。在高屮数学学习内容增多，学习时间减少的情况下，更需要提高数学思维的灵活性，教师平时教学时就要注意对学生进行这种能力的培养，以提高数学解题速度，提高数学学习的效率。以下是笔者在平时教学中总结出来的培养学生思维灵活性的方法。一、一题多解许多数学问题信息量大，关系错综复杂，通向结论的途径很多。从不同角度、层次去观察、分析、探索,会得到不同的启迪,促使思维向不同方向延伸,获取新思路和新方法,对培养思维广阔性和创新能力起推动作用。

2、我经常引导学生思考一个问题的多种解法，让学生活跃思维，灵活创新。例如例1：已知圆过两点A(3,l)、B(・l,3),且它的圆心在直线3兀一)，一2=0上，求此圆的方程。分析：由已知条件可设出圆的标准方程，利用待定系数法或几何性质确定圆心坐标和半径。解法一：设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,依题意得a=2解得肩4r=VlO(3—°尸+(1—方尸=八<(-1-6?)2+(3-/;)2=r23a-b-2=0所以所求圆的方稈是O-2)2+(y-4)2=10。解法二：肓线AB的斜率k=上1-=--,可知线段AB的

3、垂肓平分线m的斜率为2。-1-32的方程为y—2=2(兀—1),AB的中点坐标是(上1•，弓)即(1,2),因此直线m222x-y=0.X因为圆心在育•线3兀一)，一2=0上，所以圆心是这两条肓线的交点，联立方程mj2x_｝，=°解得r=2,所以圆心C为(2,4),悄r=CA=V10[3兀-y-2=0[y=4丨丨所以所求圆的方程是(兀-2)2+0-4)2=10。解法三：因为圆心在直线3兀—y—2=0上，所以可设圆心C的坐标为(q,3q—2),因为CA=CB,所以J(a-3)2+®-2-1尸=J(q+1)2+

4、(3q_2_3)2解得a=2,所以圆心C为(2,4),幡r=CA=V10所以所求圆的方程是(—2)2+0—4)2=[0。点评:本题应用了求圆的方程的三种常用方法，法一是待定系数法,法二、法三是由平面几何性质直接求得圜心坐标和半径，其屮待定系数法思路育接，体现了方程的思想，是通用方法。法二、法三对像圆这样的有许多熟悉的几何性质的曲线解答较简捷，运算量也不大,也充分体现了解析几何问题是代数方法和几何方法有机结合的特点。在解题过程屮，要仔细审题，充分利用好圆的性质，如圆上一点到圆心的距离就是半径（如法二）；圆的任一弦的垂

5、玄平分线均过圆心（如法三）等。二、一题多变数学问题的变式，主要是把条件弱化、强化或演化，改变问题结构，编成形式不同，解法类似的问题，使条件趋于隐蔽，背景趋于模糊，知识链加长，内涵丰富，扩大视野，促进知识迁移，达到触类旁通的效果，培养学生思维灵活性和洞察能力。例2：如图，已知AP丄＜30所在平面，AB为＜30的肓径，C是圆周上的任意一点，过点A作AE丄PC于点E。求证：AE丄平面PBC。分析：AB为＜30的直径，则ZACB=90°,B

6、JAC丄BC。进一步证明BC丄平面PAC,由此得［BBC丄AE,由已知得AE丄平面PB

7、C。证明：TAB是OO的直径AZACB=90°即AC丄BC•••AP丄OO所在平面・•・PA丄BC又•・•ACnPA=A・•・BC丄平面PAC又IAEu平面PACABC丄AE•・・AE丄PC,PCABC=C/.AE丄平面PBC点评：解决此题关键有二：一是圆的性质的运用；二是善于进行线线、线面垂肓关系的转化。变式一：如图（1）,己知PA丄平面ABC,AB是OO的直径，C是圆周上的一点，D为AC的屮点。求证：OD丄平瓯PAC。变式二：如图（2）,AB是OO的肓径，PA垂氏于OO所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，求证：

8、平面PAC丄平面PBC。变式三：如图（3）,AB是的直径，点C是（DO上的动点，过动点C的直线VC垂直于OO所在平面，D、E分别是VA、VC的中点。试判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由。在平时的教学，经常引导学生以一个问题为核心，思考问题的发散性，纵横沟通，层层深入，把知识灵活辐射，往往能拓展新问题，形成“题网”，并能沟通知识间的联系，形成知识网络，这样可以培养学生的思维灵活性、创新性。三、一题多问有一些数学问题所涉及的知识点不只一个，由一个数学题就可以提出几个问题。要解决问题就要引导学生思考问题所涉及的知

9、识点与方法，展开联想，沟通知识间内在联系，确定解题思路与方法，把问题一一解决。这样可以培养学生的思维灵活性，提高解题速度。例3：（2006年高考北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD屮，AB丄AC,PA丄平面ABCD,且PA二AB，点E是PD的中点。（1）求证：AC丄PB；（2）求证：PB〃平面AEC；（3）求二面角