【三维设计】2013高考数学一轮复习 第13节 导数的应用(二)我来演练.doc

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1、【三维设计】2013高考数学一轮复习第13节导数的应用(二)我来演练一、选择题1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)A．0　　　　　　　　　　B.C.D.解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值．答案：B2．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是(　　)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数解析：f′(x)＝x＋

2、sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx．当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．答案：D3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)A．0≤a<1B．0

3、位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　)5用心爱心专心A.B.C.D.解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.设造价为y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，∴y′＝4πaR－.令y′＝0，得＝.答案：C5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)A．－13B．－15C．10D．15解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(

4、2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案：A二、填空题6．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________．解析：由f′(x)＝6x

5、2－12x＝0，得x＝0，或x＝2.又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3.答案：[3，＋∞)7．若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，由于a>3，则在(0,2)上f′(x)<0，f(x)为减函数，而f(0)＝1>0，f(2)＝9－4a<0，5用心爱心专心则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．答案：1三、解答题8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b

6、x＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.∴a＝2，b＝－4，c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋

7、5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：x－3(－3，－2)－21y′＋0－0＋y8单调递增13单调递减单调递增4∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.9．已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝x3＋x2的下方．5用心爱心专心解：(1)∵f(x)＝x2＋lnx，∴f′(x)＝2x＋.∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，

8、∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋lnx，∴F′(x)＝x－2x2