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1、第2讲等比数列【导入】数列是定义在正整数上的函数，等差、等比数列是数列家族中两个最为重要的成员，绝大多数与数列相关的问题都需要转化成等差、等比数列来处理，高等数学中关于极限和级数等相关内容都与数列有紧密的练习。两千多年前人们就有了粗糙的级数思想.古希腊时期，亚里士多德(Aristotle，公元前384~公元前322)就知道公比小于l(大于零)的几何级数可以求出和数.芝诺(Zeno，公元前490~约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数.阿基米德(Archimedes，公元前287一公元前
2、212)在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物线弓形面积，并且得出了级数的和.中国古代《庄子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数.【知识点拨】1.等比数列的定义：，称为公比2.通项公式：，首项：；公比：推广（任意两项间的关系）：，从而得或3.等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或注意：只有同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4.等比数列的前n项和公式：
3、(1)当时，(2)当时，变形：5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列（2）等比中项：（0）为等比数列（3）通项公式：为等比数列（4）前n项和公式：为等比数列6.注意（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；7.等比数列的性质(1)当时①等比数列通项公式是关于n
4、的带有系数的类指数函数，底数为公比②前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2)对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若m+n=s+t(m,n,s,t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：(4)若,为等比数列,则数列,,,(k为非零常数)为等比数列.(5)数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7)若为等比数列,则数
5、列，，，成等比数列(8)若为等比数列,则数列,,成等比数列(9)①当时，②当时，,③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中,当项数为2n(n)时,,(11)若是公比为q的等比数列,则注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．【例题精讲】【例1】已知成等差数列，求证：（1）成等差数列；（2）成等比数列.[解析]该问题应该选择
6、“中项”的知识解决，【例2】等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的积为1024，所有偶数项的积为，求项数n.[解析]设公比为【例3】等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：求数列[解析]①，②①②[评析]这是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功【例4】解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设
7、等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为,解得所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.【当堂过手】一、选择题1.已知数列成等差数列,成等比数列，则的值为()A、B、—C、或—D、2.等比数列中，为方程的两根，则的值为（）3.已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，
8、b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（）A．8B．－8C．D．4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是（）A．公差为0的等差数列B．公比为1的等比数列C．常数数列1，1，1…D．以上都不对5.等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝()A．12B．10C．8D．2＋6.已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）A.4B.6C.8D.107.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于（）A、28B、32C、36D、408.等比数列的前项和为
