北京市师大附中2012届高三数学下学期开学检测试题 理.doc

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1、北京师大附中2011-2012学年第二学期高三年级开学检测数学试卷（理科）（本试卷共150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.设集合，，若，则实数的值为（）A.－4B.4C.－6D.62.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量，，与垂直，则是（）A.1B.2C.－2D.－14.若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.B.C.2D.65.设直线与的方程分别为与，则“”

2、是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10用心爱心专心6.下列命题中（）①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12。正确的个数为（）A.0B.1C.2D.37.双曲线的渐近线与圆相切，则等于（）A.B.2C.3D.68.已知集合，。若存在实数，使得成立，称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是（）A.0B.1C.2D.无数个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

3、9.的展开式中的系数是。（用数字作答）10.在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是16，则实数的值为。11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是8，则从集合中所有满足条件的值为。10用心爱心专心12.对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列。设，周期为的数列前项的和分别记为，则三者的关系式是。13.已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是。14.设函数，，，，则方程有个实数根。三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答题写出文字说明，演算步骤或

4、证明过程。15.已知函数。（1）求函数的最小正周期；10用心爱心专心（2）若是的内角的对边，，，且是函数在上的最大值，求：角，角及边的大小。16.如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小。17.有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）。（1）甲选手的演出序号是1的概率；（2）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（3）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数的分布列与期望。18.已知函数，在点处的切线与直线平行。（1）

5、求函数的解析式；（2）求函数在上的最小值。19.椭圆：的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列。（1）求证：；（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程。20.正数列的前项和满足：，，常数（1）求证：是一个定值；10用心爱心专心（2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期；（3）若数列是一个有理数等差数列，求。10用心爱心专心参考答案一、选择题1-5BDDCB6-8BAA二、填空题9.510.211.012.13.14.三、解答题15.解：（1），（2）∵.∴，∴的最大值为3。∴，∵为三角形内角，∴又，得，∵，∴由，得，∴1

6、6.解法一：（1）证明：∵，分别是线段，的中点，∴。又∵平面，平面，∴平面。（2）解，∵为的中点，且，∴，又∵底面，底面，∴。又∵四边形为正方形，∴。又∵，∴平面。又∵平面，∴。又∵，∴平面。（3）∵平面，平面，∴平面平面，∵平面，平面平面=，，∴平面，∵分别是线段的中点，∴，∴平面。∵平面，平面，10用心爱心专心∴，∴，∴就是二面角的平面角。在中，，∴，所以二面角的大小为。解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，∴。（1）证明：∵，，∴∵平面，且平面，∴平面。（2）解：，，，，。∴又∵∴平面。（3）设平面的法向量为，因为，，则取。又因为平面的法向量为，所以，

7、∴，所以二面角的大小为。17.解：（1）设表示“甲选手的演出序号是1”，所以。所以甲选手的演出序号是1的概率为。10用心爱心专心（2）设表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”。所以。所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为。（3）的可能取值为0，1，2，3，4，5，所以，，，，，。所以的分布列为012345所以18.解：（1）因为函数，所以定义域为，。因为在点处的切线与直线平行，所以，即。所以。所以。（2）由（Ⅰ），令，得。当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增。所以①若时，

8、函数的最小值是；②若时，函数在上单调递增，所以函数1