《线性代数》同济第五版课件第三章.ppt

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1、第三章　矩阵的初等变换与线性方程组1矩阵的初等变换2矩阵的秩3线性方程组的解§1矩阵的初等变换2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组1分析用消元法解线性方程组的过程．引例求解线性方程组2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组2解2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组3最后用“回代”的方法求出解．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组4于是解得其中　可任意取值．或令　　，方程组的解可记作其中　为任意常数．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换

2、与线性方程组5在上述消元过程中，始终把方程组看作一个整体来变形，用到如下三种变换：(1)交换方程次序；(3)一个方程加上另一个方程的k倍．（　与　相互替换）(2)以不等于0的数乘某个方程；（以　　替换　）（以　　　替换　）2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组6并且这三种变换都是可逆的．因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解(2)是方程组(1)的解．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组7若记在上述变换过程中，只对

3、方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵　的行变换．方程组(1)的增广矩阵于是定义类似地，可定义矩阵的初等列变换，所用记号把r换成c即可．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组8定义1下列变换称为矩阵的初等行变换．矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组9显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．如果矩阵　经有限次初等变换变成矩阵　，就称矩阵与等价，记作．等

4、价关系具有反身性、对称性和传递性．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组10用矩阵的初等行变换来解方程组(1)2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组112021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组12回代，得取　为自由未知数，并令　　，即得其中　为任意常数．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组13(1)可画出一条阶梯线，线的下方全为0；(2)每个台阶只有一行，台阶数既是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零

5、元．行阶梯形矩阵　还称为行最简形矩阵．矩阵　和　都称为行阶梯形矩阵．矩阵　称为矩阵　的标准形．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组14行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．任何矩阵，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．其特点是：2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组15此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．对于　　矩阵　，总可经过初等变换把它化为标准形所有与　等价

6、的矩阵组成一个集合，称为一个等价类，标准形　是这个等价类中形状最简单的矩阵．初等矩阵与初等变换2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组16三种初等变换对应有三种初等矩阵．定义2由单位阵　经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组172021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组18得用m阶初等矩阵　　　左乘矩阵　　　　，其结果相当于把的第i行与第j行对调．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组19类似地，以n阶初等

7、矩阵　　　右乘　，得其结果相当于把的第i列与第j列对调．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组202021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组21以　　　左乘矩阵　，其结果相当于以数k乘的第i行．以　　　右乘矩阵　，其结果相当于以数k乘的第i列．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组222021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组23以　　　左乘矩阵　，其结果相当于把的第j行乘k加到第i行．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组24以　　

8、　右乘矩阵　，其结果相当于把的第i列乘k加到第j列．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组25性质1设　是一个　　矩阵，显然初等矩阵都是可逆的，且对　施行一次初等行变换，相当于在　的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对　施行一次初等列变换，相当于在　的右边乘以相应的n阶初等矩阵．2021/8/31第三章　矩阵的初等变换与线性方程组26再证必要性．设　可逆，标准形为　，即有性质2方阵　可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵　　　　，使．因初等矩阵均可逆，充分性是显然的．证初等矩阵　　　　，