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1、二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0）2.两根式y=a(x-x1)(x-x2)3.顶点式y=a(x+h)2+k两根式y=a(x-x1)(x-x2)对称轴二次函数图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么AB=顶点横坐标=xyox2x1PABx1x2>0,点A,点B在原点同侧x1x2<0,点A,点B在原点两侧两根式y=a(x-x1)(x-x2)顶点式y=a(x+h)2+k顶点坐标(-h,k)对称轴x=-h当a>0,x=-h时,y有最小值为kx<-h表示在对称轴的左侧当k=0时顶点在x轴上当a<0,x=-h时,y有最大
2、值为kx>-h表示在对称轴的右侧当h=0时,顶点在y轴上；3、例题示范例1 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．解：设所求的函数为∵顶点（8，9）又∵过点（0，1）例2 已知二次函数的图象过（0，1）,（2，4）,（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解：设所求二次函数为由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式是解：∵A(1，0)，对称轴为x=2∴抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0）∴设其解析式为y=a(x-1)
3、(x-3)∵B（0，-3）∴-3=a(0-1)(0-3)∴a=-1∴y=-(x-1)(x-3)例3.图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=2，求这个二次函数的关系式已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（2,0）并经过点M(0,1），求抛物线的解析式？两根式：y=a(x-x1)(x-x2)例4(1)图象过A(0，1),B（1，2）,C（2，-1）三点1.已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.∴y=-2x2+3x+1（2）图象顶点是（-2,3）,且经过点（-1,5）∴y=2（x+2）2+3（3）图象和x轴交于（-2，0）,（4，0
4、）两点且顶点为（1，-9/2）∴y=-1/2(x+2)(x-4)2.根据下列条件,,求二次函数的关系式．（1）已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）（2）已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）（3）已知抛物线过三点（0，－2）、（1，0）、（2，3)【变式】如果将(2)题中的“顶点（－1，－2）”改为“有最低点（－1，－2）”，怎么办？拓展与提升求满足下列条件的抛物线的解析式(1)经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2∵B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C’（1，0）解：设抛物
5、线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）①当抛物线经过B,C两点时,y=a(x+1)(x+3)又∵抛物线经过A（2，4）∴4=a（2+1）（2+3）∴a=∴y=（x+1）（x+3）②当抛物线经过B、C’两点时，y=a(X+1)(X-1)又∵抛物线经过A（2，4）∴4=a（2+1）（2-1）a=4/3∴y=4/3(X+1)(X-1)(2)交x轴于A（x1，0），B（x2，0），顶点为P（1，-4），且x12+x22=10解：∵=1∴=2∵x12+x22=10∴x1=-1;x2=3∴A（-1，0），B（3，0）∴抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）又∵抛物线的顶点
6、为P（1，-4）∴-4=a（1+1）（1-3）∴a=1∴y=（x+1）（x-3）（4）图象顶点是M（1，16）且与x轴交于两点，已知两交点相距8个单位。解：∵顶点M坐标为（1，16），对称轴为x=1，又交点A、B关于直线x=1对称，AB=8∴A（-3，0）、B（5，0）∴此函数解析式可设为y=a（x-1）2+16或y=a（x+3）（x-5）xyo116AB-35xyo1-3-2三:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示对称轴x=_____顶点坐标:______当x=___时,y有最___值是___函数值y<0时,x的取值范围_______函数值y>0时,x的取值范
7、围_______函数值y=0时,x的取值范围_______当x_______时,y随x的增大而增大.-1(-1,-2)-1小-2-31-3或1>-1下列这三题只给出图象，看看谁先做出（只要求列式）：(1)的图象如图1示,求此函数解析式.(2)二次函数的图象如图2示，求此函数解析式.(3)某抛物线如图3示，求此抛物线的解析式.图1图2图3-1-2-13-1-112-16、小结归纳（1）待定系数法（2）二次函数解析式的不同形式：①一般式：②顶点式：顶点坐标（－h，k）③交点式（与x轴的交点）：与x轴的交点
