全等三角形常见辅助线作法.ppt

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1、三角形常见辅助线的做法利用三角形的角平分线构造全等三角形知识要点：判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。构造辅助线的方法：1．截长补短法。2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。3．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在

2、一个三角形内。4．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。例1、如图AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.分析：本

3、题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在AB上截取AF，使AF=AC，这样，只要证明FB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。答案证明：在AB上取点F，使AF=AC，连接EF∵EA平分∠CAB∴∠CAE=∠FAE∴△CAE≌△FAE（SAS）∴∠C=∠AFE∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°又∵∠AFE+∠BFE=180°∴∠D=∠BFE∵EB平分∠ABD∴∠EBF=∠EBD∴△BFE≌△BDE（AAS）∴BD=BF∵AB=AF+BF∴AB=AC+BD分析过程：要证：AB=AC+BD需证：AC=AF、BD=BF要证：AC=AF、BD

4、=BF需证：△BFE≌△BDE要证：△BFE≌△BDE需证：∠D=∠BFE要证：∠D=∠BFE需证：∠C=∠AFE要证：∠C=∠AFE需证：△CAE≌△FAE注：（1）若分别延长AC和BE，相交于点G，能否证明结论成立？如能，请你证明，如不能，请说明理由。（2）本题中E点是否是CD的中点，如是，请证明。（3）本题的大前提AC∥BD不变，而在以下四个条件：EA是∠BAC的平分线，EB是∠ABD的平分线，E是CD的中点，AB=AC+BD中，任取两个作为已知条件，另外两个作为结论，命题是否成立？请你说明理由。证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD

5、是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∴DE=DC（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等

6、）证明:例2已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCF延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）1243∵∠F＝∠C（已证）∴∠4=∠C（等量代换）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）

7、∴∠A+∠C＝180°（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）练习1、在RT△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，求证BD=2CE.练习2、已知，如图：在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD.2．平行线法（或平移法）如果题目中含有中点，可以通过中点作平行线或中位线对于Rt△,有时可作出斜边的中线．例2、如图，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。3．倍长中线法如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构

8、造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习：可以利用倍长中线法，即把中线延