选修2.21.1.1变化率与导数.ppt

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1、1.1变化率与导数1.1.1变化率问题在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?问题导入播放暂停停止思考：新授：一、函数的平均变化率注：那么，函数的平均变化率还可以表示为：直线AB的斜率AB二、函数的平均变化率的几何意义例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2(2)解：△y=f(x+△x)-f(

2、x)=2△x·x+(△x)2练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-ΔxD3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.A小结1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：1.1变化率与导数1.1.2导数的概念探究一：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：

3、秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．thO瞬时速度.在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。又如何求瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.探究二：△

4、t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?定义:函数y=f

5、(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即注：设函数f(x)在x0处可导，则＝()A．f′(x0)B．f′(－x0)C．－f′(x0)D．－f(－x0)C例跟踪训练1.2．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是()B由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求值一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的

6、导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.典例分析小结由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限想一想1.(1)x0＋Δx一定比x0大吗？(2)导数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率一定存在吗？(3)导数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率一定存在吗？提示：(1)不一定．Δx是一个相对于x的变化量，可正可负,但不能为0.(2)一定存在．因为x1，x2属于导数的定义域且x1≠x2.(3)不一定．当且仅当y＝f

7、(x)在x0到x0＋Δx的平均变化率的极限存在时，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率存在．1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义探究：βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当

8、点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.切线定义：要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;