《变化率与导数》课件（新人教选修.ppt

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1、3.1变化率与导数3.1.1变化率问题问题1气球膨胀率:气球的体积V与半径r之间函数关系为问题2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后时间t存在函数关系为引导：这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？引入气球平均膨胀率的概念当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了r(1)－r(0)=0.62当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了r(２)－r(１)=0.１６探究活动气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率设某个变量f随x的变化而变化，从x经过△x，

2、量f的改变量为量f的平均变化率为平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度——瞬时速度．2．瞬时速度平均速度的概念这段时间内汽车的平均速度为已知物体作变速直线运动，其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移，t表示时间)，求物体在t0时刻的速度．如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻t0+Dt的位置是s(t0+Dt)＝OA1，则从t0到t0+Dt这段时间内，物体的位移是在时间段(t0+Dt)－t0=Dt内，物体的平均速度为:要精确地描述非匀速

3、直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt这段时间内，当Dt0时平均速度．的极限．即例物体作自由落体运动，运动方程为：，其中位移单位是m，时间单位是s，g=9.8m/s2．求：(1)物体在时间区间[2，2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2，2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2时的瞬时速度.(1)将Dt=0.1代入上式，得(2)将Dt=0.01代入上式，得平均速度的极限为:(3)当当时间间隔Dt逐

4、渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=19.6(m/s)即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt这段时间内，当Dt0时平均速度的极限．即瞬时速度高台跳水ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-1

5、3.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049高台跳水导数的概念一般地，函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即导数的概念也可记作★若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称

6、函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为即说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点是自变量x在处的改变量，，而是函数值的改变量，可以是零．（2）由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量:；（2）求平均变化率:；．（3）取极限，得导数:一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.二是:求已知曲线的切线.例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，

7、原油的温度（单位：℃）为计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：　），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?同理，运动员在　　　时的瞬时速度为　　　　　，上升下落这说明运动员在　　附近，正以大约　　　的速率。１．你能借助函数　　的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数图象中画出来．割线PQ的的变化情况２．在的过程中，请在函数图象中画出来．你能描述一下吗？3.1.1导数的几何意义Pxy0TPxyoT的切线方程为即圆的

8、切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）1.在函数的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.(2)请描述，比较曲线分别