高二数学双曲线及其标准方程知识精讲（通用）.doc

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1、高二数学双曲线及其标准方程知识精讲【自学导引】1．双曲线的标准方程形式为或．2．求双曲线的标准方程就是根据题目条件求出a、b的值，并由焦点所在的坐标轴确定方程形式．【思考导学】求双曲线的标准方程的常用方法是待定系数法，常通过列方程、解方程(组)解决．【典例剖析】［例1］若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：∵｜AA′｜＝2，∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．(2)当a＝0时，轨迹是线段A

2、A′的垂直平分线x＝0．(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同．［例2］一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方程．解：由声速为340米／秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6000(米)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上．因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上．设

3、爆炸点P的坐标为(x，y)，则｜PF1｜－｜PF2｜＝6000，即2a＝6000，a＝3000．而c＝5000，∴b2＝50002－30002＝40002，∵｜PF1｜－｜PF2｜＝6000＞0，∴x＞0，所求双曲线方程为＝1(x＞0)．点评：在F1处听到爆炸声比F2处晚秒，相当于爆炸点离F1的距离比F2远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)．借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关—

4、—数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)．［例3］在面积为1的△PMN中，tanPMN＝，tanMNP＝－2，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设P(x0，y0)，M(－c，0)，N(c，0)，(y0＞0，c＞0)(如图8—6)则，解得设双曲线方程为将点P()代入，可得a2＝∴所求双曲线方程为点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程．【随堂训练】1．“ab＜0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的()A

5、．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＝1表示双曲线，则＜0，这就是说“ab＜0”是必要条件，然而若ab＜0，c可以等于0，即“ab＜0”不是充分条件．答案：A2．方程＝1表示双曲线，则k∈()A．(5，10)B．(－∞，5)C．(10，＋∞)D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：∵方程＝1表示双曲线，∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10．答案：A3．在双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是(

6、)A．－x2＝1B．－y2＝1C．x2－＝1D．y2－＝1解析：把椭圆的方程写成标准方程＝1，∴椭圆的焦点坐标是(±，0)．∵双曲线与椭圆有相同的焦点，∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝，∵，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线的方程为－y2＝1．答案：B4．过(1，1)点且的双曲线的标准方程为()A．－y2＝1B．－x2＝1C．x2－＝1D．－y2＝1或－x2＝1解析：当双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线的方程为＝1，∵点(1，1)在双曲线上，∴＝1，a2＝，b2＝2a2＝1，∴双曲线的方程为－y2＝1，当双曲线

7、的焦点在y轴上时，同样可求得双曲线的方程为－x2＝1．答案：D5．焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(2，3)和Q(－7，－6)的双曲线方程是______．解析：依题意可设双曲线方程为：＝1(a>0，b>0)∴，即，解得∴双曲线的方程为＝1答案：＝16．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则

8、PF1

9、－

10、PF2

11、＝______．解析：由x2－y2＝16知a＝4又∵P在双曲线x2－y2＝16的左支上∴

12、PF1

13、－

14、PF2

15、＝－2a＝－8即

16、PF1

17、－

18、PF2

19、＝－8．答案：－8【强化训

20、练】1．已知双曲线的焦距为26，＝，则双曲线的标准方程是()A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1或＝1解析：∵2c＝26，＝，∴c＝13，a2＝25．∴b2＝132－25＝144．∴双曲线的标准方程为＝1或＝1．答案：D2．F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()A．2B．4C．8D．16解析：