【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第38讲 不定方程教案.doc

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1、第38讲不定方程我们把未知数的个数多于方程的个数、且未知数受到某些限制（整数、正整数）的方程（组）称之为不定方程（组）。通常不定方程（组）问题有三种类型：（1）判断不定方程（组）是否有解；（2）求不定方程（组）的解；（3）计算不定方程（组）的解的个数。本讲主要学习二元一次不定方程（组）、基本二次型不定方程的解法和处理不定方程问题的一些常用知识和方法。A类例题例1．求不定方程11x+15y=7的整数解。分析注意到(11,15)=1，则存在惟一的一对整数u，v，使得11u+15v=1，x=7u、y=

2、7v就是方程的一组特解，整数u，v可以通过观察试验得到，也可以用转辗相除法求得。若t是整数，则x=7u+15t，y=7v－11t也是方程的解。可以证明方程11x+15y=7的每一个整数解都能化为这种形式，x=7u+15t，y=7v－11t，(t∈Z)是方程的一般解，称为通解。解∵(11,15)

3、7,∴方程有解。∵15=11×1+4，11=4×2+3，4=3×1+1。∴11×(-4)+15×3=1,即11×(-28)+15×21=7,故方程的解为：（t为任意整数）。14用心爱心专心链接对于二元一次

4、不定方程ax+by=c,a，b，c∈Z，ab≠0有下述结论：(1)方程有整数解的充分必要条件是：(a，b)

5、c；(2)若方程组有一组正整数解x0，y0，则它的所有正整数解可表示为：(其中t∈Z)——通常可以在方程两边同时除以(a，b)，使得x，y的系数互质。(3)若(a，b)=1,且x0，y0为不定方程ax+by=c的一个解，则方程的一切解都可以表示成：(t∈Z)。其中(x0，y0)是方程ax+by=c的一个特解，t是任意整数。(4)n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=c(a1,a

6、2,…,an,c∈Z)有解的充分必要条件是(a1,a2,…,an)

7、c。说明求不定方程ax+by=c的整数解，先看(a，b)

8、c是否成立，不成立则方程无整数解，成立则可以先求方程的一组特解，然后写出方程的通解例2．求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。分析比例1的方程多一个未知数，可以判断方程有整数解，若求方程的整数解，可以考虑令w=2x+3y，先求不定方程w+5z=15的整数解，再把w的每一个值代入2x+3y=w求解方程。一般情况可以参考链接。但这里求的是方程的正整数解，x，y，z的可取

9、值范围较小，如z只能取1、2两个值，可先考虑范围后讨论求解。解因为(2,3,5)=1，所以方程有整数解。令u=x+2z,得2u+3y+z=15,故z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中u,y是任意整数，且x>0,z>0,即5u+6y-30>0,………①15-2u-3y>0,………②由上述两式消去u得：-3y+15>0,从而0

10、=1，z=2。当y=2时，同理得u=4，x=2，z=1。即有解x=2，y=2，z=1。当y=3或4时，满足①，②的整数u不存在。于是不定方程的正整数解为：(1,1,2),(2,2,1)。说明请读者先讨论z的取值范围，分别在z取1或2时解二元不定方程。另外建议用链接的方法先求出正整数解，而后再求正整数解。链接解n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=c时，可先顺次求出(a1,a2)=d2，(d2,a3)=d3，…(dn-1,an)=dn。若dnc，则方程无解；若dn

11、c，则方程有解，作方

12、程组a1x1+a2x2=d2t2，d2t2+a3x3=d3t3，……dn-2tn-2+an-1xn-1=dn-1tn-1，dn-1tn-1+anxn=c。求出最后一个方程的一切解，然后把tn-1的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，再把tn-2的每一个值代入倒数第三个方程，求出它的一切解，…，这样做下去即可得到方程的一切解。例3．解不定方程组分析两个方程可以消去未知数z，得到关于x，y的方程，解二元一次不定方程，把解代入方程组中的一个，求出z的解即可。解由消去z得：13x+13y=52,

13、即x+y=4.观察得方程x+y=4的一个特解是x0=0,y0=4.故其通解为：(t是整数)14用心爱心专心代入5x+7y+2z=24得z=-2+t,故原方程的通解为(t是整数)。说明对于m个n元一次不定方程组(m