用纸折椭圆、双曲线和抛物.doc

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1、用纸折椭圆、双曲线和抛物线我们将一张纸片折叠一次，纸片上就会留下一条折痕，所得折痕是一条直线．如果在纸上折出很多很多折痕直线以后，纸上能显现出一条曲线的轮廓，使得该曲线和每一条折痕直线都相切，我们就说是“折出了”这条曲线．我们把一条曲线的所有切线组成的集合，叫做该曲线的切线族．因此，我们所说的“折出一条曲线”实际上就是指折出该曲线的切线族．我们先来折椭圆．取一个圆纸片，圆心为O．在圆内取定一点A．将圆片的边缘向圆内折叠，使圆片的边缘通过定点A，或者说使圆片边缘上的一点P与定点A重合．每取一点P折一次就得一折痕(如图1)．当点P在圆周上取得足够多且密时，所

2、得的众多折痕就显现出一个椭圆的轮廓．它和所有的折痕直线都相切(见图2)．这个椭圆以圆心O和定点A为它的两个焦点，已知圆的半径是它的长轴长．现在我们来证明，用上述方法折得的所有折痕，恰好组成该椭圆的切线族．我们知道椭圆的焦点和切线有如下性质．椭圆的焦点切线性质(图3)：椭圆上任一点和两个焦点所连线段与椭圆在该点的切线构成相等的角；反之，若过椭圆上一点的直线使两个焦点在它的同侧，且它与该点和两个焦点所连线段构成相等的角，则该直线必为椭圆的切线．先证依上法折出的每一条折痕都与上述椭圆相切，如图4，设将圆周上一点P折到圆O内定点A所得折痕为RS．于是RS垂直平分

3、线段AP．连OP交折痕RS于N．连AN，则AN＝PN，于是ON＋AN＝OP，即知点N在以O，A为焦点，长轴长为OP的椭圆上．又由∠RNO＝∠SNP＝∠SNA，根据椭圆的焦点切线性质，即证明折痕RS是上述椭圆(在点N处)的切线．再证上述椭圆的每一条切线都可用上法折出．如图4，设RS是椭圆在点N处的切线．连ON，AN．则由椭圆的焦点切线性质得∠RNO＝∠SNA，延长ON，与圆O交于P，于是∠PNS＝∠ANS．再由NO＋NA＝OP得NP＝NA．连PA交RS于M，于是△PNM≌△ANM，得MN垂直平分线段PA，即RS垂直平分线段PA，即RS是把圆周上的点P折到圆

4、内定点A所得的折痕．把上述两方面合起来，我们就证明了折痕的集合恰是上述椭圆的切线的集合，也就是所有的折痕组成了椭圆的切线族，即我们折出了上述椭圆．用类似的方法可以折出双曲线和抛物线．在纸上画一个圆(圆心为O)，在圆外取一定点A，把点A分别折到圆周的不同点上，每折一次即在纸上得一折痕．当折叠的次数足够多．折痕足够密时，纸上就显现出一个双曲线的轮廓(见图5)．该双曲线以圆心O和定点A为其焦点，其头轴长为已知圆O的半径．该双曲线与每一条折痕都相切．所有的折痕直线组成了双曲线的切线族．取一矩形纸片，一个长边的中点为F，对边长a．将点F分别折到对边a的不同点上，每

5、折一次就得到一条折痕，当折的次数足够多，折痕足够密时，纸上就显现出一条抛物线的轮廓(见图6)，该抛物线以定点A为其焦点，定直线a为其准线．它与每一条折痕都相切．所有的折痕直线组成该抛物线的切线族．上述两种折法的证明与折椭圆的证明类似，有兴趣的读者，不妨自己试一试(证明时需注意到，和椭圆的情形类似，双曲线和抛物线也有相应的焦点切线性质)，读者也可以在作者的小册子《解析几何方法漫谈》(河南科技出版社1997年出版)中找到所要的证明．已知焦点F到准线l的距离等于P，用直尺和圆规作出符合条件的抛物线．