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1、高考大题专项练三 高考中的数列 高考大题专项练第6页 1.在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.2.已知等差数列{an}的前n项和为S
2、n,a3=5,S5=3S3-2.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=2an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=5,S5=3S3-2,∴a3=a1+2d=5,5a1+10d=3(3a1+3d)-2,∴a1=1,d=2,∴an=2n-1.(2)∵bn=2an=22n-1,∴bn+1bn=22(n+1)-122n-1=22n+122n-1=22=4,b1=2.∴数列{bn}是等比数列,公比为4,首项为2.∴Tn=2(1-4n)1-4=23(4n-1).3.(2019全国Ⅱ,理19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4
3、an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.6(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1,所以an=
4、12[(an+bn)+(an-bn)]=12n+n-12,bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n-n+12.4.设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.解:(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1.设等差数列{a
5、n}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n.所以,Sn=n(n+1)2.(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得,n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.6所以,n的值为4.5.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列
6、{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{bn}的通项公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8q+1q=20,解得q=2或q=12,因为q>1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn,由cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2,解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)·12n-1.故bn-bn-1=(4n-5)·12n-2,n≥2,bn-b1=(b
7、n-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·12n-2+(4n-9)·12n-3+…+7·12+3.设Tn=3+7·12+11·122+…+(4n-5)·12n-2,n≥2,12Tn=3·12+7·122+…+(4n-9)·12n-2+(4n-5)·12n-1,所以12Tn=3+4·12+4·122+…+4·12n-2-(4n-5)·12n-1,因此Tn=14-(4n+3)·12n-2,n≥2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·12n-2.66.设S
