等比数列前n项和公式和性质.ppt

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1、等比数列前n项和公式细节决定成败态度决定一切复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)引入：印度国际象棋发明者的故事（西萨）引入新课它是以１为首项公比是２的等比数列，分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:请同学们考虑如何求出这个和？这种求和的方法,就是错位相减法!18446744073709551

2、615如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。如何求等比数列的Sn:①②①—②，得错位相减法1.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；2.推导公式的方法：错位相减法。注意：显然，当q=1时，(q=1).(q≠1).等比数列的前n项和表述为：Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q

3、(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q证法二：借助Sn-an=Sn-1(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以用等比定理：证法三：已知a1、n、q时已知a1、an、q时等比数列的前n项和公式知三求二前n项和公式：两个公式共有5个基本量:可知“三求二”.通项公式：知识回顾：填表数列等差数列等比数列前n项和公式推导方法SS【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑.倒序相加错位相减公比是否为1探究1：1.前n项和公式的函数特征：当q

4、=1时性质1：等比数列前n项和的性质一：练习1：若等比数列{an}中，Sn＝m·3n＋1，则实数m＝__________.-1例1、求下列等比数列前8项的和说明：２.１.例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年产量为则n年内的总产量为：1．数列{2n－1}的前99

5、项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299答案：C改为数列{2n-1}呢？2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()A．4B．5C．6D．7答案：C3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．答案：314．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求公比q

6、的值．我们知道，等差数列有这样的性质：等比数列前n项和的性质二：是否成等比数列?35探究2：Sn为等比数列的前n项和，Sn≠0，则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．性质2：已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.解：[题后感悟]等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和

7、构成等比数列．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16解析：∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)∴S4n＝30.故选B.练习2：7063(1)等比数列中，S10＝10，S20＝30，则S30＝_______

8、.(2)等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝_______.解：探究3：在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，则q性质3：等比数列前n项和的性质三：推导过程:已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．由题目可获取以下主要信息