可导函数的几个重要性质.pdf

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1、第!"卷第#期达县师范高等专科学校学报（自然科学版）#$$"年$%月&’()!"*+’)#*!"#$%&’"()&*+&%,-&./-$01"’’-2（-3&4#$&’5.+-%.-67+4+"%）8&$9#$$"!可导函数的几个重要性质王良成（达县师范高等专科学校数学系，四川达州,%"$$$）【摘*要】给出可导函数的几个重要性质，并据此举出了一些应用实例。【关键词】可导函数；区间套定理；-./012微分中值定理［中图分类号］3!4#)!****［文献标识码］5****［文章编号］!$$67866,（#$$"）$#7$$$"7$#不妨设$在闭区间［"，#］上严格递增，即$（"）9$（%!）9$

2、*引言$（#）。则（#;%）式可变为文［!，#］证明了如下结果：设!在闭区间［"，#］上是$+（$（%!）7$（"））’（!%!）7（!"）凸的，且在"，#两点处连续，对(%!，%##［"，#］，%!9%#，’*（$（%!）7$（"））（#’8）(!#（$，!），则存在-&!，&##［%!，%#］，使&!:（!%#7%!），满足+（$（#）7$（%!））（!%#）7（!%!）（!&#）7（!&!）’（!#）7（!%!）’*（$（#）7$（%!））（#’"）:（!’!）$（%#）7$（%!）$（&#）7$（&!）将上两式相加并整理可得本文作者发现，!与$两函数在可导的情形下也有与（!#）7

3、（!"）（!;!）式相似的结果，而且其结果有许多应用。+’’*。（#;,）$（#）7$（"）!*主要结果当$在闭区间［"，#］上严格递减时，则（#’8）7（#’"）两式不等号反向成立，则（#;,）式仍成立，使用连续函数介值定定理!*设!与$在闭区间［"，#］上连续，在开区间（"，#）内可导，$在闭区间［"，#］上严格单调，对(%!#理可得-%##［"，#］，使下式成立（"，#）则存在-%##［"，#］，使下两式之一成立（!"）7（!#）)（%#）:;（!#）7（!"）（!%#）7（!%!）$（"）7$（#）:，*%!*%#，（#’!）$（#）7$（"）$（%#）7$（%!）上式即为（#;#）或

4、（#;%）式。证毕。或定理#*设!与$满足定理!的条件，则存在%!与%#（!#）7（!"）!（(%#）:，*%!:%#（#’#）$（#）7$（"）$（(%#）满足［%!，%#］$（"，#），使下式成立证明*设（!#）7（!"）（!%#）7（!%!）:’（#’4）（!%）7（!%!）$（#）7$（"）$（%#）7$（%!）**%*%!$（%）7$（%）!)（%）:证明*对(%!#（"，#），由定理!知：当（#;!）式成立({!（%!）$（(%）*****%:%!时，若%#*"，#，取%!与%#两者中最小的为%!，最大的为!则)在［"，#］上连续，记%#，则（#;!）式变为（#;4）式。*:<.=

5、｛)（%）>%#［"，#］｝，对(%!#（"，#），由定理!知：当（#;!）式成立时，且%#+:%#［"，#］｝’:"或%#:#，即则有+’)（"）’*与+’)（#）’*，即（!#）7（!"）（!"）7（!%!）（!"）7（!%!）（!#）7（!%!）:+’’*与+’’*。$（#）7$（"）$（"）7$（%!）$（"）7$（%）$（#）7$（%）!!或（#;%）!［收稿日期］#$$8—!$—#6［作者简介］王良成（!A8A—），男，四川通江人，达县师范高等专科学校数学系教授，研究方向：凸分析及其不等式。:王良成：可导函数的几个重要性质!""#年第!期（!"）$（!#）（!"）

6、$（!%&）⋯$［%&)，%!)］$⋯$［%&!，%!!］$［%&&，%!&］%，$（"）$$（#）$（"）$$（%&）%&（)$&）(%!（)$&）其中%&)与%!)之一为，)%!，2，⋯，则有或当（!’!）式成立时，由%&的任意性可知，此三种情形均!有"$#"’%!)$%&)’)$&""+（)"3），（!"）$（!#）!（!%）%$（%）(&，（&为常数）$（"）$$（#）由（2’2）式且有在（#，"）内恒成立。这时只须任取%&，%!#（#，"），且%&)（!"）$（!#）（!%!)$（!%&)）%+)%&，!，2⋯’（2’4）%!，就满足（!’*）式。证毕。$（"）$$（#）$（%!)）

7、$$（%&)）则存在!#［%&)，%!)］$（#，"），)%&，!，2，⋯，使567%&)!+应用举例)"3%567%!)%!，由定理&证明中*的连续性，归结原则［4］及)"3［2］,-./01微分中值定理+设!与$在闭区间［#，"］上（2’4）式可得连续，在开区间（#，"）内可导，且$（(%）*"，%#（#，"），则（!"）$（!#）（!%!)）$（!%&)）!（(!）%567%，在（#，"）内