复变函数练习题及答案.doc

《复变函数练习题及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复变函数卷答案与评分标准一、填空题：1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。定理1函数在区域D内解析的充要条件：（1），在D内可微，（2），满足条件。（3分）定理2函数在区域D内解析的充要条件：（1）在D内连续，（2），满足条件。（3分）定理3函数在区域D内解析的充要条件：在区域D内连续，若闭曲线C及内部包含于D，则。（3分）定理4函数在区域D内解析的充要条件：在区域D内每一点，都能展成的幂级数。（3分）2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分）3、方程的解为：，其中为整数。（3分）4、设，则2010。（3分）二、验证计

2、算题（共16分）。1、验证为复平面上的调和函数，并求一满足条件的解析函数。（8分）解：（1），；，。由于，所以为复平面上的调和函数。（4分）（2）因为为解析函数，则与满足C.-R.方程，则有，所以又，所以，即为常数。所以。（8分）由于，所以。即。（8分）2、方程在单位圆内有几个根？为什么？（8分）解：有29个根，因为在圆周上，，由儒歇定理知在由有29个根。（8分）三、计算题（每题6分，共18分，用复变函数论的方法，并指出计算的理论根据）。1、。解：原式=（6分）2．解：原式=（3分）。（6分）3．解：原式=（1分）（3分）（5分）。（

3、6分）四、罗朗级数与奇点（15分）1、设，试求（1）在圆环内的罗郎展式；（5分）（2）在为中心的去心邻域内的罗郎展式，并指出收敛圆环。（5分）解：（1）（2分）（5分）（2）（2分）。（5分）2、试判断函数在奇点的类型。（5分）解由于，（2分）所以（3分）因此为函数的12级极点。（5分）五、求一分式线性变换将上半平面共形映射成单位圆使得，。（10分）解：由题意知，（3分）所以可设，（5分）求导得。由于，所以。此处k是整数。因此。（10分）六、证明题：1、设在区域内解析；（2）在内一点处有，，则在区域内必为常数。证明：设到区域的边界的距

4、离为。由于在区域内解析，，所以在内，可展成的幂级数即在内为常数。（5分）设为区域内任意一点，设连接和的包含与区域内的折线的分点依次为，设折线到区域的边界的距离为，令。考虑折线，在折线上依次取分点，使得相邻两分点间的距离小于，作圆。由于在内为常数，由唯一性定理知在内为常数，同样可得，在内为常数，于是可得知在内为常数，类似地考虑折线，可得在的某领域内为常数，即有。由的任意性知在区域内为常数。第二步只要讲出由唯一性定理得到结论即可。（10分）2、如果函数在单位圆内解析，并且满足条件，且对于单位圆内的任意点有，则在单位圆内恒有，且有。证明：由

5、题意可得令由的构造知在内解析，且。考虑在去心单位圆内任意一点处的值，取满足，由最大模定理，有；令，得。所以。当时，显然有。当时，有，即。综上所述，即在单位圆内恒有，且有。证毕。