复变函数第4章测验题参考解答.pdf

《复变函数第4章测验题参考解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章级数4.1级数和序列的基本性质4.1.1复数项级数和复数序列4.1.2复变函数项级数和复变函数序列(*)4.1.3幂级数(16道小题)一、选择题1.下列复数序列收敛的是().ninn21−ni15+i(A)i(B)e(C)(D)1+ni2【答案】C1−i1−nin【解析】由于lim=lim=−1,故选C.nn→1+ni→1+in2.下列复数项级数绝对收敛的是().nn(1)−i(1+i)i(A)+(B)cosin(C)(D)en2n=

2、1nnn=1n=1n!n=1【答案】Cnn(1+i)n(2)(1+i)n(2)【解析】=,由正项级数的比值判别法知=收nn==10nn!!nn==10nn!!n(1+i)敛,故为绝对收敛,故选C.n=1n!3.下列结论不正确的是().(A)若实数项级数an和bn都绝对收敛,则复数项级数(ann+ib)也绝对收敛n=0n=0n=0(B)若实数国防科大复变函数MOOC项级数an和bn都条件收敛,则复数项级数(ann+ib)也条件收敛n=0n=0n=0(C)若复数项级数n和n

3、都绝对收敛,则复数项级数(nn+)也绝对收敛n=0n=0n=0(D)若复数项级数n和n都条件收敛,则复数项级数(nn+)也条件收敛n=0n=0n=0【答案】D【解析】若复数项级数n和n都条件收敛,则(nn+)条件收敛或绝对收敛.n=0n=0n=0nn+1−nn+−+1(1)−(1)−(1)(1)例如:和都条件收敛,但是绝对收敛的,故选D.n=0n+1n=0n+1n=0n+1n4.设幂级数czn(−1)在zi=处收敛,则该幂级数在zi=−处().n=0(A)发

4、散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)敛散性不确定【答案】Dn【解析】由阿贝尔第一定理可知czn(−1)在zi=处收敛,则该幂级数在zi−−11内n=0绝对收敛,但在圆周上zi−=−11,幂级数可能收敛也可能发散,因此在zi=−处敛散性不确定,故选D.nz5．设ab,为正实数，则幂级数nn的收敛半径是().n=0a+ib1111(A)max{,}ab(B)min{,}ab(C)max{,}(D)min{,}abab【答案】Anb1ain1+ann++11+iba1【解析】若ab,则l=lim=

5、lim=,所以幂级数的收nn→1→bn+1an+1nnai1+a+iba1敛半径Ra==,同理可得,当ba时,幂级数的收敛半径为b,综上所述,幂级数的收l敛半径为max{,}ab,故选A.in6．函数国防科大复变函数MOOCf(z)=(n+1)(z+)1在z=−处().n=02(A)的值为4(B)的值为2(C)的值为−4（D）不存在【答案】Dn【解析】由达朗贝尔法则可知,幂级数(nz++1)(1)的收敛半径为1,即收敛圆盘为n=0iniz+11,因此幂级数在z=−处发散,从而函数f(z

6、)=(n+1)(z+)1在z=−处2n=02不存在,故选D.nz7.函数项级数n和函数的最大解析区域().n=11−z(A)为z1(B)为z1(C)为z1或z1(D)不存在【答案】A【解析】容易验证该函数项级数的收敛域为z1，并且在该收敛域上级数为内闭一致收敛，因此和函数在收敛域上解析，这也是最大解析区域.二、填空题ni1.复数序列当n→时的极限为.lnn【答案】0nnnncos+isincossinni2222【解析】lim=lim=lim+ilim=0,n→lnnn→lnn

7、n→lnnn→lnnni1或者=→0(n→)，由此值原序列极限为0.lnnnlnnn2．幂级数n()zi+的收敛半径为.n=03【答案】3n1【解析】由于limn=,所以该幂级数的收敛半径为3.nn→33n(1)−2n3.若幂级数nz和函数在圆盘za内解析，则a的最大值为.n=1n4【答案】2n+1(1)−2(n+1)z2国防科大复变函数MOOCnn+1z(+1)4【解析】因为lim=，由此知原幂级数的收敛半径为2，所以其和函nn→(1)−2n4znn4数在z2内解析，因此a的最大值为2.n4.若幂级数

8、czin()+在zi=3处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为.n=0【答案】4【解析】由阿贝尔定理，幂级数在圆盘zi+4内解析，因此收敛半径R4，若R4，由于幂级数在圆盘zi+R内绝对收敛，而zi=3在该圆盘内，因此在该点处幂级数绝对收敛，与