复变函数第6章测验题参考解答.pdf

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1、6.1单叶解析函数的映射性质6.1.1一般概念（*）6.1.2导数的几何意义一、选择题2iz1、下列区域中，使函数fz()=e单叶解析的区域是（）.（A）0Rez（B）0Imz（C）Rez3（D）Imz32iz【答案】函数fz()=e以为周期，所以在任何宽度为的区域Rez+上是单叶解析的，只有（A）符合要求，故选（A）.2、下列函数中，在单位圆盘z1内非单叶解析的函数是（）.zz2zz（A）2（B）（C）（D）2(1+z)1+z1+z1+z【答案】B2zzz(+2)【解析】

2、对于（B）的函数，由于()=在z=0处等于零，所以该函数非单叶21++zz(1)解析函数,故选（B）.可以用定义验证其他函数在单位圆盘内是单叶解析的，如（D）的函数，zz(z−−z)(zz1)121212由于2−=222，易知该函数在z1内是单叶的.1+z1+z(1+z)(1+z)121223、若映射w=z+2z在z平面上区域D的每一点局部收缩，那么区域D是().1111（A）z（B）z+1（C）z（D）z+12222【答案】B【解析】要求映射在区域内每一点的伸缩率小于1，即wz=2+21，在（B）所

3、对应的区域上满足此要求，故选（B）。3zi−4、映射w=在zi0=2处的旋转角为（其中k为任何整数）().zi+11（A）2k（B）(2k+)（C）(2k+1)（D）(2k−)22【答案】D【解析】映射在zi0=2处的旋转角为3(zi+)3−zi+4i1Argw=Arg=Arg−=2k−=(2k−),zi=22国防科大“复变函数”(zi+)922zi=2故选（D）.z5、设z=gw()为函数w==fz()在单位圆盘z1内的反函数，则gi(2)的值为21+z（）.211（A）i（B）i（

4、C）（D）236【答案】Dii【解析】因为fi()=2，且f()=6，由函数与反函数导数的关系有2211gi(2)==26，故选（D）.fi()2二、填空题21、映射we=iz在点zi0=处的伸缩率为.【答案】222iziz【解析】伸缩率等于fz()=w=2ezi=2ez，映射点zi0=处的伸缩率等于−ifi()=w=2ei=2.2、设函数fz()=sin(z)在圆盘zr内是保角的，则r的最大值是.【答案】0.511【解析】因为fz()=cos(z)，在z内fz()0，所以fz()在z

5、内是保角的，2211又f(=)0，所以在以原点为心的圆盘中，圆盘z是使函数保角的最大圆盘.22三、判断题21、函数fz()=+z2z为单位圆盘z1内的单叶解析函数.（）【答案】正确【解析】对于单位圆盘内的任何zz12,两点，若zz12，则有fz()−fz()=(z−z)(2+z+z)0，121212这是因为2+z1+z2−2(z1+z2)0.2、若函数fz()在区域D内解析且fz()0(zD)，则fz()在是D内的单叶函数.（）【答案】错误z【解析】反例，we=的导数在z平面上任一点不为零，由

6、于该函数在整个z平面上是周期函数，所以不是单叶的.3、存在单位圆盘z1内的解析函数w=fz()，它将z1映射成z1.（）【答案】错误【解析】因为由解析函数的保域性，w=fz()一定将z1映射成一个区域，而z1不是区域（即开区域），所以这样的解析函数不存在.国防科大“复变函数”6.2分式线性函数及其映射性质6.2.1分式线性函数6.2.2分式线性函数的映射性质6.2.3两个特殊的分式线性函数选择题1、在映射i下，区域Imz0的像为().wize=+422（A）Rew（B）Rew−2222（C）Imw

7、（D）Imw−22【答案】A【解析】区域Im()0z乘以i等于逆时针旋转，得到区域Re()iz0，加上2i222ei4=+等于实部和虚部向右向上各平移，故选（A）.2222、下列表述中，正确的表述是().n（A）wz=在复平面上处处保角（此处n为自然数）（B）映射3w=+z4z在z=0处的伸缩率为零（C）若w=fz1()与w=fz2()是同时把单位圆z1映射到上半平面Imw0的分式线性变换，那么fz12()=fz()（D）函数wz=构成的映射保持角的大小不变，但方向相反【答案】D【解析】A选项，由于w

8、(0)=0，所以在z=0处不具有保角性。B选项，由于w(0)=4，所以映射在z=0处的伸缩率为4。C选项，把单位圆z1映射到上半平面Im()w0的分式线性变换有无穷个。D选项，映射wz=保持角的大小不变，角的方向相反。故选（D）223、点1+i关于圆(xy−2)+(−1)=4的对称点是().（A）6+i（B）4+i（C）−+2i（D）i【