高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案设计 新人教A版必修4.doc

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1、第二章　平面向量2.4　平面向量的数量积2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:一辆小车,

2、在力F的作用下,从A处到B处拉动的位移为s,那么请问力F在这个运动过程中所做的功?(1)力F所做的功W=　　　　. (2)请同学们分析公式的特点:W(功)是　　　量,F(力)是　　　　量,s(位移)是　　　量. (3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量.二、信息交流,揭示规律1.数量积的概念已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　叫做a与b的数量积(或内积),记作　　　　. 问题2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?问题3:数量积的几何意义是什么?2.由数量积的定义可以得到下面几个重要结果:(1)当=0时,　　　　　　;当

3、>=180°时,　　　　. (2)cos=　　　　. (3)当b=a时,有=0,所以a·a=

4、a

5、

6、a

7、=　　　　,即

8、a

9、=　　　　. (4)当=90°时,a⊥b,因此,a·b=cos90°=0,因此对非零向量a,b,有　　　　⇔a⊥b. 3.可以验证,向量的数量积满足下面的运算律:(1) (2) (3) 注意:一般地,向量的数量积不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c.三、运用规律,解决问题【例1】判断下列各题正确与否:(1)若a=0,则对任一向量b,有a·b=0.(　　)(2)若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0.(　　)(3

10、)若a≠0,a·b=0,则b=0.(　　)(4)若a·b=0,则a,b至少有一个为零.(　　)(5)若a≠0,a·b=a·c,则b=c.(　　)(6)若a·b=a·c,则b=c当且仅当a≠0时成立.(　　)(7)对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c).(　　)(8)对任意向量a,有a2=

11、a

12、2.(　　)【例2】已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求a·b.【例3】已知

13、a

14、=

15、b

16、=,a·b=-,求.【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.四、变式演练,深化提高练习1:四边形AB

17、CD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求.五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?布置作业课本P108习题2.4A组第1,2,3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)力F所做的功W=Fscosθ.(2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量.(3)W=F·s.二、信息交流,揭示规律1.数量积的概念

18、a

19、·

20、b

21、cosθ　a·b问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度

22、

23、a

24、与b在a方向上的投影

25、b

26、cosθ的乘积.2.(1)a·b=

27、a

28、

29、b

30、　a·b=-

31、a

32、

33、b

34、(2)(3)

35、a

36、2　(4)a·b=03.(1)a·b=b·a(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(3)(a+b)·c=a·c+b·c三、运用规律,解决问题【例1】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)×　(8)√【例2】解:a·b=

37、a

38、·

39、b

40、·cos120°=5×4×(-)=-10.【例3】解:cos==-.由于0≤≤180°,所以=135°.【例4】解:由(a+3b)(7a-5b)=0⇒7a2+16a

41、·b-15b2=0　①(a-4b)(7a-2b)=0⇒7a2-30a·b+8b2=0　②两式相减:2a·b=b2,代入①或②得:a2=b2,设a,b的夹角为θ,则cosθ=,∴θ=60°.四、变式演练,深化提高练习1:解:四边形ABCD是矩形,这是因为:一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d),∴(a+b)2=(с+d)2,即

42、a

43、2+2a·b+

44、b

45、2=

46、с

47、2+2с·d+

48、d

49、2,由于a·b=с·d,∴

50、a

51、2+

52、b

53、2=

54、с

55、2+

56、d

57、2　①同理有

58、a

59、2+

60、d

61、2=

62、с

63、2+

64、b

65、2