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《利用函数性质判定方程解的 存在.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？我们知道，令一个一元二次函数的函数值y＝0，则得到一元二次方程问题1观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。没有交点(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=01.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。结论:无实数根x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2
2、-2x+1y=x2-2x-3图象与x轴的交点函数的图象一元二次方程方程的根二次函数2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？(观察表二)问题2△>0△=0判别式△=b2－4ac方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象函数的图象与x轴的交点△<0(x1,0),(x2,0)没有实根没有交点两个不相等的实数
3、根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2(x1,0)二次函数的图像与Ｘ轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形？结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.为什么？2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.对于函数y=f(x)我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zeropoint)。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：等价关系结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与
4、x轴的交点的横坐标.零点不是“点”！！！观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:在[－2,1]上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零点x＝_,有f(－2)__0,f(1)__0得到f(－2)·f(1)___0(<或>)。在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点x＝____，有f(2)____0,f(4)___0得到f(2)·f(4)____0（<或>)。.....xy0－132112－1－2－3－4－24再观察对数函数f(x)=lgx的图象:在[0.5,2]内f(0.5)____
5、_0，f(2)____0f(0.5)·f(2)______0(<或>)函数f(x)在（0.5,2)内有一个零点x＝______，.xy0121...思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？-1><<3<><<><1如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。注意:零点存在性定理：1、图像是连续不断的曲线ab例1判
6、断方程x2-x-6=0解的存在.解考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线-6614yx4-4OCAf(0)=-6f(-4)=14f(4)=6f(0)<0,f(4)>0,f(-4)>0图像为连续曲线f(x1)=0f(x2)=0方程x2-x-6=0(-4,0)、(0,4)内各有一解Bx1x2函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于零,即f(a)=0,则称a为这个函数的零点.方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点零点个数就决定了相应方程
7、实数解的个数.函数零点存在性的判定方法若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点处的函数值符号相反(f(a)·f(b)<0)则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。该判定方法只是指出了方程实数解的存在,但不能判断具体有多少个实数解.yxOx1x2x3f(a)>0f(b)<0yxO若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且在(a,b)上有零点，但不一定满足f(a)·f(b)<0x1f(a)>0f(b)>0
8、若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a,b)内也可能存在零点。yxOf(a)>0f(b)>0x1x2例2已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?解因为f(-1)=3-1-(-1)2=<0f(0)=30-(0)2=1>0函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以
