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1、应用数理学院应用数学学科部(AdvancedMathematics)高等数学第一章无穷小与极限1.1无穷小1.1.1数列无穷小1.数列的定义数列是指定义在正整数集上的函数依按自变量增大的次序,数列的对应值可以排成称为数列的通项(或一般项),数列简记为例如,数列简记为简记为简记为简记为数列中的每个数称为数列的一项,2.数列的几何表示法数列中的每一个数都可用数轴上的一个点来表示,这些点的全体就是数列.变化过程称为n趋于无穷大，3.数列的变化过程包含两个相关的无限过程：自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.n的主动变化过程是不断增大(每次加1
2、).即n从1开始，遵循这样的变化规则，一定可以大于每个固定的正数.我们将n的这种记为表示n无限增大的过程，即n要多大就有多大，或者说,n可以大于任意给定的正数.即与0的距离可以如果n可以大于任意给定的正数,那么就可以小于任意给定的正数.我们称无限接近于0.任意小,数列的变化趋势可以概述为：无论给定一个多么小的正数都可以有只要即可.数列是无穷小.此时我们称当n无限增大时,定义1.1(数列无穷小)如果对于任意给定的正数都存在正整数N,使得当时，不等式成立，记为或则称数列是无穷小.设为数列，几何解释:只有有限个(至多有N个)落在其外.定义:定理1.1
3、(无穷小比较定理1)证设为无穷小,则也是无穷小.使得对于所有正整数n,由定义,故也是无穷小.如果存在正数C,例1证明:如果则为无穷小.证数列从第N+1项起，则也是确定数.因是无穷小,有注意到当时,幂函数在单调增加,所以即是无穷小.例2证明下列数列都是无穷小：证因(4)是(1)的推广.因为是无穷小,注意到根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小.解因且因此,不是无穷小.例3设则数列不是无穷小.注:1.1.2时函数无穷小我们用表示x无限增大的过程，只要即可.即x可以大于任意给定的正数.不妨设则等价于任意给定的正数且无限接近0.我们称时，是无
4、穷小.可以小于定义1.2(时函数无穷小)如果对于任意给定的正数总存在正数X,当时,有记为或设在有定义,c为常数.则称当时，为无穷小.类似地,可定义另外两种情形:定理1.2定义:的几何意义:完全落在带形区域内.函数的图形有例4用定义证明:当时,为无穷小.证取所以,当时,为无穷小.同理,当或时,也是无穷小.定理1.3(无穷小比较定理2)如果存在常数类似于定理1.1,有是无穷小.设当(或)时,也是无穷小.则当(或)时,证因是无穷小,有当时,幂函数在单调增加,所以例5设则当时,为无穷小.故当时,是无穷小.例6证明当时,为无穷小.证因不妨设所以,当时,是
5、无穷小.当时,例7证明当时，不是无穷小.证有不妨设所以,当时,不是无穷小,由定理1.2，当时，不是无穷小.当时,1.1.3时函数无穷小表示且可以任意小.特别地,当时,是无穷小.定义1.3(时函数无穷小)设函数在点x0某去心邻域内有定义.有则称当时，是无穷小.记为或注意：是否有定义无关.例如,设是否为无穷小?点表示且可以任意小;表示且可以任意小.当或时,都是无穷小.类似于定理1.1和定理1.3,有定理1.4(无穷小比较定理3)设当时，是无穷小.也是无穷小.则当时，如果存在常数例8证明:如果则当时,证是无穷小.因是无穷小,故当时，是无穷小.由幂函数
6、在单调增加,例9证明证由定理1.4,有不妨设因于是定理1.5且例10证明证由定理1.5,有因显然先证不妨设即于是所以因是奇函数,有作单位圆O,例11设证证明由定理1.5，有不妨设因于是于是1.1.4无穷小的统一定义函数都可以满足不等式对于前面的无穷小定义稍加比较就可以发现:如果对于任意给定的正数无论哪种情况,所不同的是,随自变量变化趋势的不同,不等式成立的范围(或空心邻域)也不同.如果把不同情形下的无穷小统一表述为:或则a共有七种不同情况：当函数定义域为正整数时，当函数定义域为实数集时，a可以取为简单起见,一般可以用等表示无穷小.定义1.4设在
7、点a的某个空心邻域内有定义，都存在点a的空心邻域若记作或则有关于无穷小的统一定义形式：如果把a的和有关的邻域记为有了无穷小定义的统一形式,我们今后讨论无穷小或一般的极限理论时就可以重点讨论其中最具代表性的情形只是邻域不同而已.其他情形则可以类似给出，关于无穷小的概念需注意以下几个方面：1.无穷小是函数的自变量按照一定的变化趋势变化时,函数的一种特殊的变化趋势.因此,我们说某个函数是无穷小时,必须同时指出自变量x的变化趋势.例如,2.零是无穷小,但无穷小不一定等于零.例如，一个固定的正数无论多么小,总存在比它更小另外,不能把无穷小与很小的正数相混
8、淆.的正数.就不是无穷小.3.关于无穷小的分类.某空心邻域并且存在点a的特别地,如果当为正无穷小;同样地,如果当为负无穷小.显然,正、负无穷小都是非零
