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1、三角函数的性质【知识梳理】1.三个基本三角函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x
2、x≠kπ+,k∈Z}函数y=sinxy=cosxy=tanx值域[-1,1][-1,1]R函数的最值最大值1,当且仅当____________最小值-1,当且仅当____________最大值1,当且仅当______________最小值-1,当且仅当_______________无最大值和最小值x=2kπ,k∈Zx=2kπ-π,k∈Z函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性增区间__________________减区间__________________增区间__
3、_________________________减区间_________________________增区间________________[k·2π-π,k·2π](k∈Z)[k·2π,k·2π+π](k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为____周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为____周期为kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为___2π2ππ函数y=sinxy=cosxy=tanx对称性对称中心_________________________________________对称轴______
4、________________无对称轴零点kπ,k∈Zkπ+,k∈Zkπ,k∈Z(kπ,0),k∈Zx=kπ,k∈Zk∈Z2.周期函数(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个__________,使得当x取_______内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,__________叫做这个函数的周期.非零常数T定义域非零常数T(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________,那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期.最小的正数最小正数【特别提醒】1.函数的对称性和周期之间的几个关系(1)正弦曲线和余弦曲
5、线相邻的两个对称轴之间距离的2倍是一个周期.(2)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.(3)正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期.(4)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.2.正切函数的单调性y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间(k∈Z)内为增函数.【小题快练】链接教材练一练1.(必修4P40练习T3(2)改编)函数f(x)=4-的最小值是,取得最小值时,x的取值集合为.【解析】f(x)min=4-2=2,此时,=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合为{x
6、x=6kπ,k∈Z
7、}答案:2 {x
8、x=6kπ,k∈Z}2.(必修4P47习题1.4B组T2改编)函数y=的单调递减区间为.【解析】因为y=tanx的单调递增区间为(k∈Z),y=-tanx的单调递减区间为(k∈Z),所以(k∈Z),解得(k∈Z),所以的单调递减区间为(k∈Z).答案:(k∈Z)感悟考题试一试3.(2014·陕西高考)函数f(x)=的最小正周期是 ( )A.B.πC.2πD.4π【解析】选B.由题意得:T==π.4.(2016·烟台模拟)函数y=sin(-x)的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=对称【解析】选B.因为y=sin(-x)=cosx,
9、又因为cos(-x)=cosx,为偶函数,所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称.5.(2016·菏泽模拟)函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最小值是.【解析】设sinx-cosx=t,因为x∈[0,π],所以所以t∈[-1,],sinxcosx=所以当t=-1时,ymin=-1.答案:-1考向一三角函数的定义域及简单的三角方程或不等式【典例1】(1)(2016·青岛模拟)定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为.(2)
10、满足cosx≥,且x∈[0,2π]的x的集合为.(3)函数f(x)=+log2(2sinx-1)的定义域是.【解题导引】(1)根据图象的意义及同角关系,列出关于sinx的方程,求解.(2)根据余弦函数的图象可得不等式的解集为x∈,k∈Z,结合函数的定义域即可得到答案.(3)根据表达式有意义,列出不等式组求解.【规范解答】(1)由题意得线段P1P2的长即为sinx的值,且其中的x满足6cosx=5tanx,即6cosx=5
