控制理论基础.ppt

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1、第6章控制系统稳定性对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A.M.Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。本章的主要内容为1.引言2.李亚普诺夫意义下稳定性的定义3.李亚普诺夫第二法4.线性连续系统的稳定性6.1引言李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。第一种方法是求出线性化

2、以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。例6-1一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。令（1）选取状态变量则系统的状态方程为（2）在任意时刻，系统的总能量（3）显然，当时，而当时而总能量随时间的变化率为可见，只有在时，。

3、在其他各处均有，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。平衡状态——一般地，系统状态方程为，其初始状态为。系统的状态轨线是随时间而变化的。当且仅当（当t≥t0）则称为系统平衡。如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。6.2李亚普诺夫意义下稳定性的定义6.2.1稳定的定义则非线性时变系统（6）（6）（5）≤定义对于任意给定的实数，都对应存在实数，使满足的任意初始状态出发的轨线有≤ε（对

4、所有t≥t0）成立，则称为Lyapunov意义下是稳定的。——表示求欧几里德范数。（即：表示空间距离）Lyapunov意义下稳定渐进稳定渐进稳定6.2.2渐近稳定如果系统的平衡状态是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线，当时，收敛于，则称为渐近稳定。更精密的叙述如下：如果系统的平衡状态，对于，存在和，当时，从出发的，都有并且充分大时，就充分小。则称为Lyapunov意义下渐近稳定。当与、无关时，则称为一致渐近稳定。实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定无摩擦，等幅振荡球受外力离开平衡

5、点,存在摩擦力时,小球最终静止在A点。物理意义6.2.3大范围渐进稳定如果是整个状态空间中任一点，并且都有则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。当稳定性与的选择无关时，称一致全局渐近稳定。不稳定6.2.6不稳定对于任意的实数，存在一个实数，不论取的多么小，在满足不等式的所有初始状态中，至少存在一个初始状态，由此出发的轨线，满足称为Lyapunov意义下不稳定大范围稳定不稳定6.3李亚普诺夫第二法定义如果标量函数，并且当时，；仅当时，；则称为正定的。除了以外，还有状态使，称为半

6、正定的。≥0定义如果标量函数，并且当时，；仅当时，；则称为负定的。除了以外，还有状态使，称为半负定的。≤0（7）定理6-1设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为负定。则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。例6-2系统的状态方程如下，判别系统稳定性。解而将状态方程代入上式，化简后得选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足可见，是负定的，即满足因此，是一致渐进稳定的。当，有，故系统是一致大范围渐进稳定的。定理6-2设系统状态

7、方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；3）除了平衡状态外，还有的点，但是不会在整条状态轨线上有则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。（注：本定理是将定理6-1的条件稍微放宽了一点）例6-3系统的状态方程为其中，a为大于零的实数。判别系统的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而将状态方程代入上式，化简后得可见，当和任意的时，有，而和任意时，。又因为，只要变化就不为零，因此在整条状态轨线上不会有

8、。因此，是一致渐进稳定的。当，有，故系统是一致大范围渐进稳定的。定理6-3设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；则为一致稳定的。如果，，则是大范围一致稳定的。（注：本定理只是比定理6-2少了第3个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定。）例6-6系统的状态方程为其中，k为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而由定理6-3可知，为Lyapunov意义