高中同步数学教案第12章 圆锥曲线.docx

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1、第十二章圆锥曲线12、1曲线和方程1、回顾直线与方程的关系：如果直线与方程之间有如下关系：（1）直线上的点的坐标都满足方程；（2）以方程的解为坐标的点都在上。那么，把方程叫做直线的方程，直线叫做方程的直线。2、曲线与方程的关系：一般地，如果曲线C与方程之间有如下关系：（1）曲线C上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。那么，方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线。例1：已知曲线C的方程为：。（1）判断点是否在曲线C上；（2）若点在曲线C上，求实数的值；（3）若点是曲

2、线C上的点，求实数的取值范围。解：（1）因为是方程的解，所以点在曲线C上；不是方程的解，所以点不在曲线C上。（2）由点在曲线C上，则，解得或。（3）若点是曲线C上的点，则。即，所以。例2：已知两点和），求证：线段AB的垂直平分线的方程是。证明：（1）设是上的任意一点，则由垂直平分性质知，由两点间的距离公式：，化简得：。即点的坐标是方程的解。（2）设是方程的任意一组解，则，即。设以为坐标的点为P，那么，，所以，即点P在线段AB的垂直平分线上。由（1）、（2）知线段AB的垂直平分线的方程为。3、求曲线的

3、方程：例3：已知两定点和，求到点和的距离平方和是的点的轨迹方程。解：设是轨迹上的任意一点，则，由两点间距离公式得：，化简得：　（1）由上面的推导知：所求轨迹上的任意一点都满足方程（1）。MO反过来，设点的坐标是方程（1）的解，即，那么点Q到点距离的平方分别为：所以。这说明以方程（1）的解为坐标的点都在轨迹上。综上知，所求的轨迹方程为。求曲线的方程，一般有如下几个步骤：(1)建立适当的坐标系（如果已给出，本步骤省略）；(2)设曲线上任意一点的坐标为；(3)根据曲线上点所适合的条件，写出等式；(4)用坐

4、标表示这个等式（方程），并化简；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。注意：以后步骤(5)可不作要求。但要有必要的验证，以确保轨迹方程的“纯粹性”。例4：已知平面上两相交直线的夹角为，动点M到两直线的距离的积是常数，求动点M的轨迹方程。图一MOPQ解法一：如图－，以直线的交点O为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系。则直线的方程为。设点，由题意得：，即或为所求的轨迹方程。O图二解法二：如图二，以直线的交点O为坐标原点，的夹角平分线为轴建立直角坐标系。则直线的方程为，直线的方程为。设点

5、，由题意得：点M到直线的距离为，点M到直线的距离为。由题意得：，即。所以所求的点M的轨迹方程为或。例5：已知定点和曲线上的动点。求线段的中点的轨迹方程。解：设点的坐标为，点的坐标为，由题意得：，即。又因为。代入得：，化简得：。即为所求的轨迹方程。说明：这种求轨迹的方法叫做代入法，例6：过点作互相垂直的两条直线和。设直线与轴交于点，直线交轴于点N。求线段MN中点Q的轨迹方程。MNQO解法一：设，则，于是。由和垂直，则，所以，化简得：即为所求的轨迹方程。解法二：△PMN和△OMN都是以MN为斜边的直角三

6、角形，又Q是MN的中点，由直角三角形的性质知：，所以。于是点Q的轨迹是线段OP的垂直平分线，由求得OP的垂直平分线方程为，所以点Q的轨迹方程为。说明：解法一实质上是代入法；解法二则是确定出轨迹形状再写出方程，这种方法称为定义法。例7：已知定点和圆，自引圆的割线，求弦的中点的轨迹方程。解：直接法，（）例8：已知定点，是圆上的动点，的角平分线交于，求动点的轨迹方程。解：代入法，。例9：已知点在直线上移动，直线过原点且与垂直，直线过点及点，求直线与直线交点的轨迹方程。解：参数法，例10：已知，在轴上，在轴

7、正半轴上，，在的延长线上取点，使，当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程。解：参数法，4、曲线的交点设曲线的方程分别为与。那么，曲线的交点的坐标一定是方程组的解；反过来方程组的解为坐标的点必是曲线的交点。因此方程组有几组解，两曲线就有几个交点。例11：已知曲线C的方程，当为何值时，直线与曲线C有两个不同的公共点？一个公共点？没有公共点？解：由方程组：，消去得：　（＊）方程（＊）根的判别式。当，即时，方程（＊）有两个不同的解，可知原方程组也有两个不同的解，所以曲线C与直线有两个不同的公共点；当，即或时，方

8、程（＊）有一解，所以方程组也只有一解，所以曲线C与直线有一个公共点；当，即或时，方程（＊）没有实数根，所以方程组没有解，曲线C与直线没有公共点。综上知：时，有两个公共点；或时，有一个公共点；或时，没有公共点。例12：求直线被曲线截得的线段AB的长。解：由方程组解得：或，所以两交点为，。由两点间距离公式得：。变式1：求直线被曲线截得的线段AB的长。OAB解：由方程组，消去得　　　　（＊），所以方程（＊）有两个不等的实根。设交点，那么是方程（＊）的两根，由韦达定理知：，且