高中同步数学教案第13章 复数.docx

《高中同步数学教案第13章 复数.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十三章复数一、复数的概念数的概念是在实践中一步步发展起来的。我们知道，实系数一元二次方程当其根的判别式“△＜”时，在实数范围内方程无解。再如：这样简单的方程在实数范围内无解。十六世纪，人们为了解决负数的开方问题，引入了一个新数，叫做虚数单位.1、——虚数单位规定：①；②实数可以与进行四则运算，原有的加乘运算律仍适用。2、复数的定义设都是实数，我们把形如的数叫做复数（是虚数单位）。全体复数的集合叫做复数集，常用字母C表示。3、复数的分类对于复数，与分别叫做复数的实部与虚部，并且分别用符号和表示。对于复数，当时，就是实数；当时，叫

2、做虚数。特别地，当并且时，叫做纯虚数。由此可以看出，实数集R是复数集C的真子集，有。4、复数的相等：对于两个复数，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，这两个复数相等。即：（其中5、两个复数不全为实数时，不能比较大小。例1：说出下列复数的实部与虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，还应指出是否为纯虚数。（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）的实部与虚部分别是与，它是虚数，但不是纯虚数；（2）的实部与虚部分别是和，它是虚数，而且是纯虚数；（3）的实部与虚部都是，它是实数；（4）的实部与虚部分别是与，它是虚数，当时它是纯虚数。

3、说明：复数（虚部是不是。例2：已知复数，根据下列条件求实数的取值范围。（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）。解：（1），则，得或；（2）是虚数，则，得且；（3）若是纯虚数，则，得；（4）由，则，即，解得：或。例3：设，并且，求。解：由复数相等的定义，得方程组：。解得：。例4：求的值，使复数是：（1）实数；　　（2）纯虚数；　　（3）零。解：（1）若是实数，则或，或（）；（2）若是纯虚数，则，得。（3）若，则，得。二、复数的坐标表示复数⇌直角坐标平面内的点⇌平面向量.1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平

4、面.2、实轴、虚轴：在复平面中，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点以外的点都表示纯虚数。按这种表示方法，可知复数集C和复平面内的点构成了一一对应的关系。O3、复数的模：设复数在复平面上对应点为，那么点与原点O之间的距离叫做复数的模（也称为复数的绝对值），记作。由两点间距离公式，得：.例1：若复数对应点在第三象限内，求实数的取值范围。解：由题得：，所以实数的取值范围是。例2：已知，若分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在第二象限。求的值或取值范围。解：（因为。所以。（1）若为实数，则即

5、，此时；（2）当时，为虚数；（3）若为纯虚数，则，此时；（4）若对应点在第二象限，则。例3：求证：在复平面内分别和复数，，，对应的四点共圆。证明：例4：设复数对应点.请在复平面上画出分别满足下列条件的点Z所在的位置的区域(用阴影部分表示)三、复数的加法与减法1、复数加法与减法的运算法则：设与是任意的两个复数，它们的和与差分别是2、复数的加法满足交换律与结合律。即：设是三个任意的复数，则有：交换律：；结合律：。3、复数加法与复数减法的几何意义若复数、对应的向量、不共线，则复数是以、为邻边的平行四边形对角线所对应的复数；复数-是联结

6、向量、终点，并指向被减向量的向量所对应的复数。4、复平面上两点间的距离公式设两复数、分别对应点，，则，两点之间的距离为5、共轭复数的概念：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数称为共轭复数。复数的共轭复数用表示。也就是说当时，。互为共轭的两复数在复平面上对应的点关于轴对称，且。例1：（1）已知复数，求证：的充分必要条件是；（2）设复数，求证：为纯虚数的充要条件是。证明：（1）设，则。若，则，所以；若，则，根据复数相等的意义，，所以。即的充分必要条件是。（2）设不同时为），。若为纯虚数，则，，；若，则，则，又，所以

7、为纯虚数。即当时，为纯虚数的充要条件是。例2：已知复数Z满足，求的取值范围；解（1）即对应点在以为圆心,半径为1的圆上(如图1)。表示圆上的点到点的距离.联结交圆于、两点（点在的延长线上）结合图形，可知又，，。例3：已知复数z满足

8、z-1-2i

9、-

10、z+2+i

11、=3（i是虚数单位），若在复平面内z对应的点Z,则Z的轨迹为（　　）A.双曲线的一支B.双曲线C.一条射线D.两条射线例4：已知，求的取值范围。解：四、复数的乘法与除法1、复数乘法的运算法则：设是任意两个复数，复数的乘法按照以下法则进行：说明：复数的乘法与多项式的乘法是类

12、似的，但在运算过程中要把换成，然后把实部与虚部分别合并。2、复数乘法的运算律复数的乘法运算满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任意复数，有：；3、复数的乘方对于复数和自然数有规定4、复数的除法法则：例1：计算:①②解：①。②。例2：已知一复数与其平方是