高二数学教案第4讲：直线中的对称问题.doc

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1、辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A/B/C/D/E/F段主题教学内容1.掌握点到直线的距离公式；2.理解并掌握如何根据对称的条件得到有用的信息（以提问的形式回顾）1．点到直线距离公式：点到直线的距离为：证：如图，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：2.两条平行线间距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为又即，∴d＝3.两点与直线位置关系点和，直线，令，令，，若，则点在直线同侧；若，则点在直线异侧。4.对称问题对称问题一般可分解为：中点问题、垂

2、直问题、夹角问题练习：1.求点关于点对称的点的坐标解：由题意知，B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）点评：解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.求直线3x－y－4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程解：由直线l与3x－y－4=0平行，故设直线l方程为3x－y＋b=0.　　由点P到两直线距离相等，得　　　　解得：b=－10或b=－4（舍）.∴所求直线l的方程3x－y－10=0.评述：求直线关于点的对称直线，可利用平行与点到两条平行线距离相等来做。试一试：求直线关于点对称的直线方程

3、答案：2x+11y-38=0.例2.已知点，求的面积。解一：设AB边上的高为h，则=，AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为即点C到的距离为hh=，因此，=解二：利用行列式评述：解法一：利用点到直线间距离公式求出高，再求三角形面积。解法二：利用行列式代入点的坐标求面积。例3.已知点P（2，－1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程，若不存在，请说明理由.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），可见，过P（2，－

4、1）垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.由已知，得=2，解之得k=.此时l的方程为3x－4y－10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0.（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl·kOP=－1，所以kl=－=2，由直线方程的点斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原

5、点距离为6的直线.评述：先根据平行将已知直线设出来，再利用两平行直线间距离公式求解。例4.求直线关于直线对称的直线的方程.【分析：由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答】解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.试一试：试求直线关于直线对称的直线的方程.【分析：两直线相交，可先求其交点

6、，再利用到角公式求直线斜率.】解由解得l1，l2的交点，设所求直线l的斜率为k，由到角公式得，，所以k=-7.由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.【点评：本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程；或者在l2上任取不同于交点的一点，然后利用点到两直线距离相等求出相应系数】（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.点关于直线的对称点是()A．(－6，8)B．(－8，－6)C．(6，8)D．(－6，－8)答案：D2.已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)

7、的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率的取值范围．解：设所求直线为，化成一般式因为与线段有公共点，所以评述：若直线与线段有交点，可通过画图确定斜率范围，也可以利用两点与直线的位置关系去求解。（1.可针对学生不同的水平，选题时难易程度上要有区分；2.可根据实际情况，通过竞赛的互动方式进行，并给予学生相应的鼓励与表扬）3.过直线和直线的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线和之间的线段长为，求该直线的方程.解：　由交点M（－5，2）．　　设所求直线l与l1、l2分别交于B、A两点，