【备战2020高考】高三数学一轮热点难点 专题16 恒成立问题你会多少.doc

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1、考纲要求:1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美.基础知识回顾:恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立.若函数在区间上存在最小值和最大值，则:①不等式在区间上恒成立；②不等式在区间上恒成立；③不等式在区间上恒成立；④不等式在区间上恒成立；若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：①不等式（或）在区间上恒成立

2、；②不等式（或）在区间上恒成立；应用举例【例1】【河南省2018年高考一模】已知定义在R上的函数和分别满足，，则下列不等式恒成立的是　　A．B．C．D．【答案】C【详解】令，则，令，则，解得，则，令，，则函数在上单调递减，则，可得故选【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.【例2】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试（一）】设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A，令则令，可得当时，递减；当时，递增；则当时，，故的解集为：且则的取值范围是故选【点睛】本题运用导数解答了恒

3、成立问题，先通过导数求出不等式左边的最小值，然后代入不等式，构造新函数，再次运用导数求出最值，从而计算出结果，本题导数的运用性较强、综合性强，需要掌握其解答方法.【例3】【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数使不等式对于恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.【例4】【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知函数，，.

4、（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）（2）由题意，，恒成立，，综上，．点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)解答本题的难点在于第2问中要构造新函数然后求函数的最大值，体现的主要是转化的思想．方法、规律归纳:上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间

5、的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.（5）值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.实战演练:1．【北京东城北京二中2018届高三上学期期中考试】已知函数，．（）求函数的单调区间及最值．（）若对，

6、恒成立，求的取值范围．（）求证：，．【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是，，无最小值．(2)(3)见解析令得，令，得，∴的单调增区间是，单调减区间是，，无最小值．（）若对，恒成立，则对，恒成立，即对，恒成立，令，则，当时，显然，∴在上是减函数，∴当时，，∴，即的取值范围是．2．【江苏省南通市2018届高三最后一卷】已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1).(2).(3).（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，即的两个正根为所以，即所以令，故，在

7、上单调递增，所以故得取值范围是（ii）若，即，令，得（舍去），，当时，，在上单调减；当时，，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递增，所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题