备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题18恒成立问题你会多少

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1、专题18恒成立问题你会多少考纲要求：1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美.棊础知识回顾：恒成立：关于/的不等式f32o对于/在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。若函数/(%)在区间D上存在最小值/(x)min和最大值/(x)max,则：①不等式/(x)>q在区间D上恒成立0/(x)min>a；②不等式/(%)»Q

2、在区间D上恒成立o/(x)min>a；③不等式/(x)v〃在区间D上恒成立o/(x)maxa(或/(x)>a)在区间D上恒成立②不等式/(x)n0,则根据函数的图像［a>0.Aa<0f(m)>0zr1可得［加)>。或［如〉0可合并成〔爲>0，同理"心在加

3、］内恒有3<。则有/(m)<0fW<0【例1】对于满足Ip<2的所有实数p,求使不等式/+朋+1>2p+x恒成立的x的取值范围.【答案】xv-l或x>3.【解析】在不等式中出现了两个变量：无、卩，并且是给出了卩的范围要求x的相应范围〉直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把P看作自变量，兀看成参变量，则上述问题即可转化为在［-2,2］内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题.解:原不等式可化为(x-l)p+x2-2x4-l>0J令才3)=S—1)P+，-2x+1,则原问题等价于/0)>0在PE［—2,2］上恒成立，故有:方

4、法二:-4x+3>0解得=-1>0Q警<1<_］或%a3•学科网x>Y^x<-12•二次函数一一利用判别式.韦达定理及根的分布求解有以下儿种基木类型:类型1：设/(x)=ax2++c(a0).(1)/(无)>0在兀w/?上恒成立og>0且△<()；(2)/(x)<0在xe/?±恒成立0°<0且4<0・类型2：设f(x)=ax2+bx+c(a丰0).(1)当Q〉()时，/(兀)>0在XG［/0］上恒成立U>vb0,2a7*(0)>o.用)<。庆S上恒成立。鬻:;(2)当a<0时，/(x)>O&cg[a,/3

5、]±.恒成立/(%)<0在兀G[a,0]上恒成立o02“A<0bq-7->A2aJ(0)vO・例2【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】己知定义在/?上的奇函数/(兀)满足：当兀》0时,/(x)=x3,若不等式/(-4r)>/(2m+mr2)对任意实数/恒成立，则实数加的取值范围是()A.(_oo,_V^)〃•(-血,0)c.(Y,o)u(【答案】Aa/2,+°°jD.kJ+°°)【解析】当兀<0时，/(x)=-/(-^)=^=>/(x)=x3(xe7?)^/(x)在盪上是増函数=>-ka2用+对任意实数『恒成立3-4

6、f>用只+&+2曲对任意实数f恒成立二［n3朋E(-8.—〉故选A・

7、A=16-87«2<0V}3.其它函数：对于恒成立的问题，常用到以下结论：(1)an/(X)恒成立oan/(.v)max;<2)a0恒成立o/(x)^>0(注：若/*(兀)的最小值不存在,则/(%)>0恒成立o/(x)的下界大于0)；/(x)<0恒成立o/(Q皿<0(注：若/(兀)的最大值不存在，则/(x)<0恒成立o/(兀)的上界小于0).例3已知函数/(兀)满足/(log“x)=—(兀一兀》)，其中6Z>0,且QH1.6T—1

8、(1)求函数y=f(x)的解析式，并判断其奇偶性；(2)当氏(-8,2)时，/(x)-4的值恒为负数，求实数a的取值范围【答案】(1)f(x)=^—(ax-a'x)t奇函数；(2)gw[2“,1)U(1,2+妁.0-1【解析】(1)=奇函数a—1(2)由题意，/(x)-4<0恒成立，因为y=f(x)在(to,2)上单调递増，/(x)>/(2)=^-tl,a所以兰4,2—血兰4兰2+少又GAlqHO,故ce[2—$,1)U(1,2+$]・a类型二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出

9、参数范围.利用分离参数法来确定不等式f(x^)>0(xeD,2为实参数)恒成立中参数2的取值范