直线的方向向量与平面的法向量.ppt

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1、3.2.1直线的方向向量与平面的法向量研究从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?1.直线的方向向量AB直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。●p空间中任意一条直线l的位置可由l上的一个定点A以及l的方向向量确定.那么对直线l上的任意一点P,一定存在唯一的实数t,使得由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以,可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。2.平面的法向量平面的法向量:如果直线l⊥α,则l的

2、方向向量叫做平面α的法向量,记作⊥α。Al几点注意:1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量,向量是与平面平行或在平面内,则有给定一点A和一个向量,那么过点A以为法向量的平面是确定的.ab3.向量在立体几何中的应用baaa练习:4.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.l1∥l2l1⊥l25.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.α⊥β.α∥β.练习:练习:6.设是直线l的方向向量,是平面α的法向量,根据下列条件,判断l与α的位置关系.l∥α或lα.l⊥α.例1.在

3、正方体ABCD—A1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的法向量.证明:设正方体棱长为1,如图建立空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1)所以⊥平面ACD1所以是平面ACD1的法向量.xyz由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的,为方便起见,取x=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。例2.已知空间中的三点A(1,-2,0),B(3,0,1),C(5,3,3),求平面ABC的法向量与单位法向量.设平面ABC的法向量为平面的法向量不惟一,合理取值即可。例3.在空间直角坐标系内,设平面α经过点P(x0,y0,z0),平面α的法向量

4、为=(A,B,C),M(x,y,z)为平面α内任意一点,求x,y,z满足的关系式。解:例4.证明两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。已知直线a、b和平面α、β,a,bβ,a∩b=M,a∥α,b∥α,求证:β∥α,证:设直线a、b方向向量分别为,平面α、β的法向量分别为因为a∥α,b∥α因为a,bβ,a∩b=M,所以β∥α练习1.已知分别是直线l1,l2的方向向量,两条件中l1、l2的位置关系是().BA.①平行②平行B.①平行②垂直C.①垂直②平行D.①垂直②垂直2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-

5、2,-4,k),若α∥β,则k=;若α⊥β,则k=.3.设l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(6,2,3),若l∥α,则m=;若l⊥α,则m=.4.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中点,证明:BD1//平面AEC用空间向量来解决下列题目用空间向量来解决下列题目5.在正方体AC1中,E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB1A1D1、D1C1、DD1的中点,求证:⑴BD1⊥平面EFG⑵平面PQR∥平面EFG。ABCDA1B1C1D1FQEGRP

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