高中数学《曲线与方程》文字素材1 新人教A版选修2-1.doc

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1、学好四法易抓“轨”　　求动点的轨迹方程问题是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对一些常见曲线的定义、性质等基础知识的掌握以外，还充分考查了各种数学思想方法及其一定的推理能力和运算能力．求动点的轨迹方程经常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法等，下面举例说明．　　一、直接法　　直接法是求轨迹方程最基本的方法，它是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，建立x、y之间的关系，化简即得动点轨迹方程．　　例1　已知直

2、角坐标平面上点和圆，动点到圆的切线长与的比等于常数．求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．　　解：如图1，设直线切圆于点，则动点组成的集合是：（为常数）．　　因为圆的半径，　　所以．　　设点的坐标为，　　则，　　整理，得，　　当λ=1时，方程化为，它表示一条直线；　　当时，方程化为，它表示圆心在，半径为的圆．　　评注：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及分类讨论的思想、方程的思想，还有综合运用知识的能力．　　二、定义法　　若动点轨迹的条件符合某一轨迹的定义，可用定义直接探求．　　例2　某检验员通常用一个直径为2

3、cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？　　解：设直径为3，2，1的三圆圆心分别为O、A、B4，问题转化为求两等圆P、Q，使它们与相内切，与相外切．建立如图2所示的坐标系，并设的半径为，则，．　　∴点在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，　　其方程为．①　　同理点P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，　　其方程为．②　　由①、②可解得，　　∴．　　故所求圆柱的直径为cm．　　评注：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转

4、化为数学问题的能力，圆锥曲线的定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题．该题综合了解析几何、平面几何、立体几何的相关知识．　　三、相关点法（代换法）　　根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．其特点是：动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标，可先用x，y来表示，再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程．　　例3　在椭圆内，有一内接三角形，它的一边与长轴重合，点在椭圆上运动，试求的重心轨迹．　　解：如图3，设重心及，则AO是的中线，根据三角形重心公式与定比分点定义，有，则有：，．　　∵点在椭圆上（不包括两点），4

5、　　∴，　　∴是所求点的轨迹方程，且所求点的轨迹是一个中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（去除长轴的两端点）．　　评注：当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成时，应用转移法求点的轨迹比较合适．　　四、参数法　　若动点的坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以用这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因为参数不同，运算量不同，常见的参数有：角度、直线的斜率、点的纵（横）坐标、线段的长度等．　　例4　如图4，设点A和B为抛物线上除原点以外

6、的两个动点，已知，，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．　　解：设，　　由题意可知直线的斜率不等于零，　　故设直线的方程为．　　由消去y，得．　　所以．　　消去，得，　　所以．　　由，即，得．　　，．　　故．　　由，得．　　因为A、Ｂ是异于原点的点，所以．　　用，代入，得4　　．　　故点M的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去掉坐标原点）．　　评注：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系．该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查，对运算、化简能力要求也较高．4