2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文新人教A版.doc

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1、第三节　函数的奇偶性与周期性————————————————————————————————[考纲传真]　1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)

2、，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　　

3、)(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)【导学号：】A．－　　　　B.C.D．－B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋D．y＝x2＋sinxD　[A项，定义域为R，f(－x)＝－x

4、－sin2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sinx，－f(x)＝－x2－sinx，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]4．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

5、－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.x(1－x)　[当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x)．]函数奇偶性的判断　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－2x；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝[解]　(1)定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3

6、＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．∴该函数为奇函数.4分(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.12分[规律方法]　1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的

7、x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1]　(1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函数B．

8、f(x)

9、g(x)是奇函数C．f(x)

10、g(x)

11、是奇函数D．

12、f(x)g(x)

13、是奇函数(2)判断函数f(x)＝＋的奇偶性．(1)C　[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝

14、f(x)

15、g(

16、x)，则h(－x)＝

17、f(－x)

18、g(－x)＝

19、－f(x)

20、g(x)＝

21、f(x)

22、g(x)＝h