2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何热点探究训练5平面解析几何中的高考热点问题教师用书文新人教A版.doc

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1、热点探究训练(五)平面解析几何中的高考热点问题1．(2014·全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且

2、MN

3、＝5

4、F1N

5、，求a，b.[解]　(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.2分将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.5分(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是

6、线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.　　①8分由

7、MN

8、＝5

9、F1N

10、得

11、DF1

12、＝2

13、F1N

14、.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即10分代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.12分2．已知椭圆C的方程为：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．[解]　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.2分因此a＝2，c＝.

15、故椭圆C的离心率e＝＝.5分(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，则·＝0，所以tx0＋2y0＝0，解得t＝－.8分又x＋2y＝4，所以

16、AB

17、2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0

18、AB

19、2≥8.故线段AB长度的最小值为2.12分3．如图4，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标

20、原点)．图4(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：

21、MN2

22、2－

23、MN1

24、2为定值，并求此定值.【导学号：】[解]　(1)证明：依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2.2分解得交点D的坐标为注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2.因此D点在定直线y＝－2上(x≠0).5

25、分(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.8分由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为N1，N2，10分则

26、MN2

27、2－

28、MN1

29、2＝2＋42－2＝8，即

30、MN2

31、2－

32、MN1

33、2为定值8.12分4．(2017·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M

34、.【导学号：】(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．[解]　∵b＝1，e＝，∴解得a2＝2.3分故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM,0)，由于点A(m，n)在椭圆C上，∴－1

35、于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝

36、xM

37、

38、xN

39、.∵xM＝，xN＝，＋n2＝1，∴y＝

40、xM

41、

42、xN

43、＝＝2.10分∴yQ＝或yQ＝－.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ.点Q的坐标为(0，)或(0，－).12分5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且

44、AF

45、＝1.图5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得·＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【导学号：】[

46、解]　(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，3分故椭圆C的标准方程为＋＝1.5分(2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3