小学六年级奥数教案：计数方法(讲师版).pdf

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1、计数方法知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解决问题知识梳理排列最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足：它们所含的元素均相同；它们的顺序也一样．一般地，从n个不同元素中取出m个元素的排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的m排列数，记作：A(m≤n)．n从n个元素中取出m个元素排成一排，

2、有多少种排法，是从n个元素中取出m个元素的排列数．这个问题可以看成有m个位置，从n个元素中取m个元素放到m个位置中，可分m个步骤：第①步：第1个位置有n种选择；第②步：第2个位置有n-1种选择；第③步：第3个位置有n-2种选择；……第m步：第m个位置有n-m+1种选择．m由乘法原理：An×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有m项nmn特别地，当m=n时，AAnn1...21叫做n个元素的全排列数．nnmn!1×2×3×…×n称为n的阶乘，记作n!因此A(m≤n)．nnm!m排列数乘积形式的公式：A=n×(n-1)×(n-2)×…×

3、(n-m+1)．nmn!排列数阶乘形式的公式：A(m≤n)．nnm!组合1/13有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了，这种问题称为组合问题，组合问题与排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可，不需排序，而排列问题是取出后要进行排序．一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同的元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出，n个元素的组合．从n个不同元素中，每次取出m个元素的组合总数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，m记作C(m≤n)．从n个元素中取出m个元素的排列问题可以看成分两步完成：n第①步：从n个元素中取出m个元素，这时有多少种取法?实际上就是从n个

4、元素中取出m个元素的m组合数C；nm第②步：对取出的m个元素进行排列，排法数就是A．mmmmmmAn由乘法原理可知：ACA，因此，C．nnmnmAmmn.n1...nm1mn!将排列数公式代人得：C或Cnnm.m1...3.2.1nm!m!常用的计数方法有：分类枚举、插板、整体、递推、排除、概率等等。例题精讲【试题来源】【题目】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。【答案】72【解析】五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120（种）如果将相邻的贝贝和妮妮看

5、作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（种）。因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48(种)；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）。【知识点】计数方法【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法?【答案】见解析【解析】我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶．即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和．而

6、倒数第l级台阶的走法等于倒数第2、3和4级台阶的走法和，……2/13如果将1、2、3……级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每一项等于前3项的和．有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274种走法．【知识点】计数方法【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。表1表2表3(1)将1至4填入表1中，方法有_________种；(2)将1至6填

7、入表2中，方法有_________种；【答案】①2②5【解析】①2种：如图，1和4是固定的，另外两格随便选，2种；1121343424②5种：1和6是固定的，其余的不确定；123124125134135456356346256246【知识点】计数方法【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【答案】512【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将l