空间向量及其运算学案

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1、空间向量及其运算学案一、知识梳理复习平面向量1、平面向量的定义：2、几类特殊向量(1)、零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．(2)、单位向量：________的向量称为单位向量．(3)、共线向量：(4)、相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(5)、相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．3、平面向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向

2、量的减法三角形法则向量的乘法1是一个向量,满足:>0时,与同向;<0时,与异向;=0时,=0向量的数量积是一个数1、或时,=02、且时,4、平面向量基本定理：9如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使；注意,的几何意义5、两个向量平行的充要条件：⑴、的充要条件是：；（向量表示）⑵、若，则的充要条件是：；（坐标表示）6、两个非零向量垂直的充要条件：⑴、的充要条件是：；（向量表示）⑵、若，则的充要条件是：；（坐标表示）空间向量的有关知识1、空间向量的有关概念（1）、空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间

3、向量．（2）、相等向量：方向______且模______的向量．2、空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：;;运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3、空间向量的数量积及运算律(1)、数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝，则称a与b______________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量

4、积，记作________，即______________________________．(2)、空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝____________________；②交换律：a·b＝________；③分配律：a·(b＋c)＝________________.4、空间向量的坐标表示及应用(1)、数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，9则a·b＝____________________.(2)、共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔____________⇔_

5、_______，__________，________________，a⊥b⇔________⇔_________________________________(a，b均为非零向量)．(3)、模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

6、a

7、＝＝_____________________________________________________________，cos〈a，b〉＝＝_________________________________________________________.若A(a1，b1，c1)，B(a

8、2，b2，c2)，则

9、

10、＝__________________________________________________________________.5、共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________________．推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝___________________或＝6、共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

11、，推论的表达式为=，或对空间任意一点O有，＝__________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝____.7、空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．若三向量不共面，我们把叫做空间的一个，叫做，空间任意三个的向量都可以构成空间的一个推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使二、基础练习1、若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(　　)A．x＝