高中数学 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修.doc

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1、河北省迁安一中数学必修五：1.1.2余弦定理理．　　2．理解余弦定理与勾股定理的关系．　　教学重点和难点　　重点：利用向量的数量积证明余弦定理；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用．　　难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路，及对余弦定理的熟练记忆．　　教学过程设计　　(一)师生共同复习正弦定理．　　正弦定理准确地反映了三角形中边与角之间的关系，即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦成正比．　　请同学们回忆一下正弦定理的证明过程．　　(二)教师讲述新课．　　前面我们学习正弦定理时同学们已知道(1)如果已知三角形的两个角和任一边，我们用正弦定理可求出其它两边和一角．(2)如果已知三

2、角形的两边和其中一边的对角，我们用正弦定理可求出另一边的对角，再进一步求出其他的边和角．　　现在我们来研究，如果已知三角形的一个角和夹此角的两边，能否求出此角的对边呢？　　如图，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．　　　　∴b2＝a2＋c2＋2accos(180°－B)，　　b2＝a2＋c2－2accosB．　　这个式子就表达了第三边b与另两边a和c及他们夹角之间的关系．　　b2＝a2＋c2－2accosB，　　同理可证出，　　a2＝b2＋c2－2bccosA，　　c2＝a2＋b2－2abcosC．　　我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它

3、们夹角的余弦的积的两倍．教师引导学生观察余弦定理公式的特征和规律帮助记忆公式，同时要求学生用语言叙述余弦定理，促进对公式的记忆．　　教师引导学生注意以下问题．　　(1)如三角形中有一个角是直角，三角形是直角三角形．如∠C＝90°，则cosC＝0．　　这时余弦定理为，c2＝a2＋b2－2abcos90°＝a2＋b2．这就是勾股定理．因之，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．　　(2)我们用余弦定理求角时，有时为了方便，余弦定理变形为如下形状．　　(师生共同完成以下例题)　　　　解：这个问题是已知三角形的两边a、c，及其夹角B，直接用余弦定理，求第三边，即∠B的对边．由余弦定

4、理，b2＝a2＋c2－2accosB．　　　　∴b＝7．　　　　解：已知三角形的三边，可用余弦定理确定角．　　　　∴A＝45°．　　例3．如图，在△ABC中，应用勾股定理证明余弦定理．　　解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，过顶点C作AB边上的高CD．　　则CD＝bsinA，AD＝bcosA，DB＝C－bcosA，　　在Rt△CDB中，BC2＝CD2＋DB2．　　a2＝b2sin2A＋(c－bcosA)2＝b2sin2A＋c2－2bccosA＋b2cos2A　　＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2　　＝b2＋c2－2bccosA　　∴a2＝b2＋c2－2bccosA．　　

5、(三)学生练习．　　1．课本练习3(1)，a＝7.　　2．课本练习3(2)，B＝90°．　　(四)教师小结．　　总结余弦定理的内容，余弦定理公式记忆的特征．余弦定理公式的两种形式．　　(1)求边形式：a2＝b2＋c2－2bccosA，　　b2＝a2＋c2－2accosB，　　c2＝a2＋b2－2abcosC．