高中数学 1.3 集合的基本运算名师考点精讲 北师大版必修.doc

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1、（同步课堂）2013-2014学年高中数学1.3集合的基本运算名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．交集与并集的定义自然语言符号语言图形语言交集由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”).A∩B＝{x

2、x∈A且x∈B}并集由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”).A∪B＝{x

3、x∈A或x∈B}2．交集、并集运算的性质(1)交集运算性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A

4、⊆B⇔A∩B＝A，(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)．(2)并集运算性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B＝B，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)．[小问题·大思维]1．数学活动课上，小强说：“若x∉(A∩B),则x∉A且x∉B.”小刚说：“若x∉(A∪B)，则x∉A且x∉B.”这两个同学说的都对吗？为什么？提示：A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x∉(A∩B)可分三种情况：x∉A且x∈B，x∈A且x∉B，x∉A且x∉B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于

5、B的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x∉(A∪B)，则必有x∉A且x∉B，即小刚同学说的正确．2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？提示：不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝∅.3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？为什么？提示：不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．[研一题][例1]　(1)设集合M＝{m∈Z

6、－3＜m＜2}，N＝{n∈Z

7、－1≤n≤3}，则M∩N等于(　　)A．{0，1}　　　　　　　　B．{

8、－1，0，1}C．{0，1，2}D．{－1，0，1，2}(2)已知集合A＝{x

9、－4≤x＜2}，B＝{x

10、－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.[自主解答]　(1)由已知M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{－2，－1，0，1}∩{－1，0，1，2，3}＝{－1，0，1}．(2)分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由右图知，A∩B＝{x

11、－1＜x＜2}，A∪B＝{x

12、－4≤x≤3}．若本例(2)中集合B＝{x

13、x≤a}，求A∩B.解：因为A＝{x

14、－4≤x＜2}，∴当a＜－4

15、时，A∩B＝∅，当－4≤a＜2时，A∩B＝{x

16、－4≤x≤a}，当a≥2时，A∩B＝A＝{x

17、－4≤x＜2}．[悟一法]解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．[通一类]1．若集合P＝{x

18、x2＝1}，M＝{x

19、x2－2

20、x－3＝0}，则P∩M等于(　　)A．{3}B．{1}C．{－1}D．∅解析：P＝{－1，1}，M＝{－1，3}，∴P∩M＝{－1}．答案：C2．已知集合A＝{x

21、1≤x＜3}，B＝{x

22、x＞2}，试求A∩B和A∪B.解：利用数轴易知A∩B＝{x

23、2＜x＜3}，A∪B＝{x

24、x≥1}．[研一题][例2]　已知A＝{x

25、x2－px－2＝0}，B＝{x

26、x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，求p，q，r的值．[自主解答]　∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－

27、1.∴A＝{1，－2}．∵A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2，5}．∴4－2q＋r＝0且25＋5q＋r＝0.解得q＝－3，r＝－10.故p＝－1，q＝－3，r＝－10.[悟一法]应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式(组)等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集．[通一类]3．设集合A＝{

28、a＋1

29、，3，5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2，3}时，求A∪B.解：

30、∵2∈A，∴

31、a＋1

32、＝2.∴a＝1或a＝－3.当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3，2a＋1＝3.由集合中元素的互异性知a≠1.当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，即集合B＝{－5，3，2}．∴A∪B＝{－5，2，3，5}．[研一题][例3]　设A＝{x

33、x2－2x＝0}；B＝{x

34、