高中数学 1.3.1函数的单调性与导数学案 新人教A版选修 .doc

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1、1．3　导数在研究函数中的应用1．3.1　函数的单调性与导数1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．1．一般地，可导函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)有如下关系：导函数的符号不等式的解集函数的单调性单调区间f′(x)＞0(a，b)单调递增递增区间f′(x)＜0(a，b)单调递减递减区间f′(x)＝0—常函数—想一想：(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间内单调递增，反过来也成立吗？解析：不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即

2、f′(x)>0是f(x)在该区间内单调递增的充分不必要条件．(2)利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？解析：函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．2．函数单调性与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内，(1)如果

3、f′(x)

4、越大，函数在区间(a，b)内变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；(2)如果

5、f′(x)

6、越小，函数在区间(a，b)内变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(D)A．(－∞，2)　　　　　　B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞

7、)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(D)A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0，2)解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的单调递减区间为(0，2)．故选D.3．已知函数f(x)＝＋lnx，则有(A)A．f(2)0，所以f(

8、x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)0.故选B.4．函数f(x)＝sinx－2x

9、的递减区间是________．解析：因为f′(x)＝cosx－2＜0，所以f(x)在R上为减函数．答案：(－∞，＋∞)5．(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(D)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：f′(x)＝k－，由已知得f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)恒成立，故k≥，因为x>1，所以0<<1，故k的取值范围是[1，＋∞)．6．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(C)解析：由f′(x)的图象可知，x<

10、0或x>2时，f′(x)>0；00，∴a>0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f(

11、x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞0)．若f(x)的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．解析：f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，由题知x＝0或x＝4为方程f′(x)＝0的两根，∴0＋4＝4＝.∴k＝1.10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围．解析：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，